Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/305

291

CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

à déterminer $h_{1}$ et $x_{1},\,\ldots ,$ et enfin l’équation $\mathrm {E} _{i}$ à déterminer $h_{i}$ et $x_{i}.$

Pour écrire plus facilement nos équations, nous conviendrons, comme dans le Chapitre XV, de représenter par $\Phi$ toute fonction connue.

Alors $\mathrm {E} _{0}$ s’écrit

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{0}}{dt^{2}}}+x_{0}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.$

De même, $\mathrm {E} _{1}$ s’écrit (en se souvenant que $h_{0}$ et $x_{0}$ sont supposés avoir été préalablement déterminés à l’aide de $\mathrm {E} _{0}$)

${\begin{aligned}2&h_{0}h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{1}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{1}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+x_{1}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi ,\end{aligned}}$

et, en général, $\mathrm {E} _{i}$ s’écrira

${\begin{aligned}2&h_{0}h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw^{2}}}+2h_{i}\,{\frac {d^{2}x_{0}}{dw\,dt}}+h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw^{2}}}\\&+2h_{0}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+x_{i}(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\Phi .\end{aligned}}$

L’équation $\mathrm {E} _{0}$ est facile à intégrer ; elle se ramène en effet à l’équation (1) du n^o 190 qui a fait l’objet du Chapitre précédent. Nous aurons une intégrale en faisant

$x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),$

les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ étant les mêmes que dans le n^o 178 et $h_{0}$ étant égal au nombre que nous avons appelé $h$ dans le Chapitre XVII.

Nous en aurons une encore en faisant

$x_{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt).$

Si donc nous posons

${\begin{aligned}\xi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(w+2nt),&\eta &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(w+2nt)\end{aligned}}$

et si $\beta$ et si $\gamma$ sont des constantes arbitraires, nous aurons encore