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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

n’en est pas ainsi : elle n’est qu’approchée, ainsi que nous l’avons vu au Chapitre XVI, et, pour qu’elle soit suffisamment approchée, Il faut que $\rho ,$ que nous appelons ici $x,$ reste toujours très petit.

Si donc l’un des coefficients $\mathrm {B} _{n}$ était très grand, $x$ ne resterait pas très petit ; les termes négligés pourraient devenir assez grands pour que la méthode d’approximation devînt illusoire.

On doit donc éviter qu’à aucun moment, dans la suite des approximations, on ne voie apparaître dans le second membre de (1) des termes dont l’argument $\lambda t$ soit très peu différent de $(h+2n)t.$

Considérons d’une manière plus générale l’équation

(5)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=\varphi (t),$

où $f(t)$ et $\varphi (t)$ sont des fonctions de $t$ développables en séries trigonométriques.

Soit $\beta \cos \lambda t$ ou $\beta \sin \lambda t$ un terme de $\varphi (t),$ soit $\alpha \cos \mu t$ ou $\alpha \sin \mu t$ un terme de $f(t).$

Considérons l’équation sans second membre

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\,f(t)=0.$

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ deux solutions indépendantes de cette équation, $x_{1}'$ et $x_{2}'$ leurs dérivées par rapport à $t\,;$ on aura

$x_{1}x_{2}'-x_{2}x_{1}'=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante que nous pourrons toujours supposer égale à 1.

La solution générale de l’équation à second membre sera alors

(6)

$x=-x_{1}\int x_{2}\varphi (t)\,dt+x_{1}\int x_{1}\varphi (t)\,dt.$

D’après le n^o 188, $x_{1}$ et $x_{2}$ sont une somme de termes de la forme

$\mathrm {A} {\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}\left(h+\gamma \right)t,$

$h$ étant une constante, qui est la même pour tous les termes, et $\gamma$