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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Donc
est indépendant à la fois de
et de
Écrivons l’égalité (6) pour mettre en évidence la valeur de
sous la forme
![{\displaystyle \nabla (x,q_{1})=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4790113c288465388bf31d0dd0b60f7636764f5)
Pour
est égal à
il vient donc
![{\displaystyle \nabla (x,0)=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2c22c3ec2811423c28bcef74aa8ec7c66b4da0)
d’où, en divisant et faisant ![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
![{\displaystyle {\frac {1-\cos \pi h}{1-\cos \pi q}}={\frac {\nabla (0,q_{1})}{\nabla (0,0)}}={\frac {\square \,(0,q_{1})}{\square \,(0,0)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2580eae250d0a12a2fbe26f54a47aad70183999)
ou enfin
(7)
|
|
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car
![{\displaystyle \square \,(0,0)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f510626713ec2ac8dd617cfe9968af894fbc4ea)
c’est de l’égalité (7) que M. Hill a tiré la valeur de ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Grâce aux considérations qui précèdent, la légitimité de sa
méthode est désormais rigoureusement établie.
Remarques diverses.
188.Dans le cas particulier que nous traitons, on pourrait
arriver à quelques-uns de ces résultats sans avoir recours au théorème
de M. Hadamard.
En effet, observons d’abord que, quand même
et
sont imaginaires,
l’égalité fondamentale (α) subsiste encore, pourvu que
![{\displaystyle \lambda =|q^{2}|+|q_{1}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a551c7e7716632e0c578e49e8d0e2cf023427ea6)
Si nous nous rappelons alors le développement connu
![{\displaystyle \sin \pi x=\pi x{\,\textstyle \prod }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5b6e1f10def9dc5516ce034465dfa2fc6f8881)
nous en déduirons
![{\displaystyle \cos \pi x-\cos \pi y={\frac {\pi ^{2}}{2\,}}(y^{2}-x^{2}){\,\textstyle \prod }\left[{\frac {(y-2n)^{2}-x^{2}}{4n^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500073ba1833ad1a7c97e16713facf809af8965e)