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CHAPITRE XVIII.

De même, si nous faisons

$\varphi (t)=\beta \sin \lambda t,$

on satisfera à l’équation (1) en faisant

(2 bis )

$x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\sin(\lambda +2n)t,$

pourvu que les $\mathrm {B} _{n}$ soient encore définis par les relations (4) et (4 bis).

Il est clair alors que, si $\varphi (t)$ est une somme de termes de la forme $\beta \cos \lambda t$ et $\beta \sin \lambda t,$ on aura une solution particulière de l’équation (1) qui sera une somme de termes de la forme

$\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t$ ou $\mathrm {B} _{n}\sin(\lambda +2n)t,$

et l’on obtiendra la solution générale en ajoutant à cette solution particulière la solution générale de l’équation sans second membre.

Il y aurait exception dans le cas où l’un des coefficients $\mathrm {B} _{n},$ définis par les équations (4) et (4 bis) du n^o 184, serait infini ; c’est ce qui arrive, comme il est aisé de le voir, si λ est égal à $h+2n,$ $n$ étant un entier.

Dans ce cas, on peut toujours intégrer l’équation (1), mais le temps $t$ sort des signes sinus et cosinus, de sorte que la solution ne conserve pas sa forme purement trigonométrique.

Si l’on suppose, par exemple,

$\varphi (t)=\beta \cos ht,$

la solution générale sera de la forme

${\begin{aligned}x&=t\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t+{\textstyle \sum }\,(\mathrm {B} _{n}+\mathrm {C} _{1}\mathrm {A} _{n})\cos(h+2n)t\\&+\mathrm {C} _{2}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t.\end{aligned}}$

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la solution conserve sa forme trigonométrique, c’est qu’aucun des $\lambda$ correspondant aux divers termes de $\varphi (t)$ ne soit égal à $h+2n.$

Si maintenant $\lambda ,$ sans être rigoureusement égal à $h+2n,$ était très voisin de $h+2n,$ l’un des $\mathrm {B} _{n},$ sans être infini, deviendrait très grand.

Cela n’aurait pas d’inconvénient si l’équation (1), c’est-à-dire l’équation (6 b) du n^o 169, était rigoureusement exacte ; mais il