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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

et, conservant les inconnues $\rho$ et $\chi$ dans le premier membre, nous remplacerons au contraire dans le second membre et pour une première approximation ces quantités par zéro.

La fonction $\mathrm {B}$ contiendra, entre autres termes remarquables, des termes de la forme

$\mathrm {C} \rho ^{n},\quad \mathrm {C} \rho \sin(\lambda v_{0}+k),$

$\mathrm {C} ,\,\lambda$ et $k$ étant des constantes.

1^o Si nous faisons passer dans le premier membre de (6 bis) le second de ces termes, nous trouvons

(6 a)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[1-\mathrm {C} \sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} ',$

$\mathrm {B} '$ étant ce que devient $\mathrm {B}$ quand on en retranche le terme qu’on a fait ainsi passer dans le premier membre.

Dans $\mathrm {B} ',$ nous ferons ensuite

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0.$

L’équation (6 a) sera encore une équation linéaire à second membre ; mais ce ne sera plus une équation à coefficients constants.

Il est clair maintenant que nous pouvons tout aussi bien écrire, $\alpha$ et $\beta$ étant deux quantités très petites quelconques,

(6 b)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} '',$

où

$\beta ''=\mathrm {B} '+\alpha \rho +\mathrm {C} \beta \rho \sin(\lambda v_{0}+k)$

et où, d’ailleurs, on aura finalement, en première approximation,

$\mathrm {B} ''=\mathrm {B} '=\mathrm {B} ,$

puisque l’on convient d’annuler $\rho ,$ $\rho ',$ $\chi$ et $\chi '$ dans le second membre.

On pourra ensuite profiter de diverses manières de l’indétermination de $\alpha$ et de $\beta .$

2^o On peut aussi faire passer dans le premier membre un terme