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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

période $\pi ,$ il en sera de même de $\mathrm {U} _{k}$ et nous pourrons écrire

$\mathrm {U} _{k}={\textstyle \sum }\,a_{n}e^{2nit},$

d’où

$z_{k}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {a_{n}e^{2nit}}{2i(n+q)}}\cdot$

Nous pourrons donc, à moins que $q$ ne soit entier, égaler $z_{k}$ à une fonction périodique de $t.$

Alors $z$ est une fonction périodique de $t,$ que nous pourrons écrire

$z=ih+{\frac {du}{dt}},$

$ih$ étant la valeur moyenne de cette fonction périodique $z$ et $u$ une autre fonction périodique. On en déduit pour une intégrale particulière de (1)

$x=e^{iht+u}.$

Ce que nous avons appelé $\mathrm {F} (t)$ dans le n^o 178 est alors la partie réelle de

$e^{iht}e^{u}.$

Cette méthode est la plus simple quand on veut le développement de $h$ suivant les puissances de $q_{1}.$

Méthode de M. Lindstedt.

184.Considérons l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x-q_{1}x\cos 2t=0$

et sa solution paire

$x=\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.$

Il est clair que nous aurons

(2)

$\mathrm {A} _{n}\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}).$

Le problème consiste à déterminer $h$ et les $\mathrm {A} _{n},$ de façon que