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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
période
il en sera de même de
et nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {U} _{k}={\textstyle \sum }\,a_{n}e^{2nit},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc55d6696300b2e3ab11b03e84324253eee0289c)
d’où
![{\displaystyle z_{k}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {a_{n}e^{2nit}}{2i(n+q)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd299930f0ce6c4954ff12e7b5c258b53dd3a60)
Nous pourrons donc, à moins que
ne soit entier, égaler
à une
fonction périodique de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Alors
est une fonction périodique de
que nous pourrons écrire
![{\displaystyle z=ih+{\frac {du}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25745d6dd10e07e913869094000c476f81926879)
étant la valeur moyenne de cette fonction périodique
et
une autre fonction périodique. On en déduit pour une intégrale
particulière de (1)
![{\displaystyle x=e^{iht+u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4c98fd20880568f5cae959ecd7a2efec4e92b7)
Ce que nous avons appelé
dans le no 178 est alors la partie
réelle de
![{\displaystyle e^{iht}e^{u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9b70e14921b97c2a619837fc379706e5e5ec5b)
Cette méthode est la plus simple quand on veut le développement
de
suivant les puissances de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Méthode de M. Lindstedt.
184.Considérons l’équation
(1)
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et sa solution paire
![{\displaystyle x=\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fd34e072eb0474ed3f48fb210d78abe0ec283b)
Il est clair que nous aurons
(2)
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Le problème consiste à déterminer
et les
de façon que