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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

(5) et (6) : c’est là un point que nous avons plus haut énoncé sans démonstration, mais dont je vais donner maintenant une démonstration qui me sera utile plus loin ;

2^o Que si les équations (5) et (6) sont satisfaites aux termes près d’ordre $p+2$ par rapport aux $\alpha _{i},$ et les équations (4) aux termes près d’ordre $p+1,$ les équations (3) le seront aux termes près d’ordre $p+1$ ou, en d’autres termes, que les équations (13) et (14) sont une conséquence des équations (7), (8) et (9).

Les équations (6), exprimant que $d\mathrm {S}$ est une différentielle exacte, nous donneront

(α)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{q}}}-{\frac {d\xi _{i}}{dw_{q}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0,$

d’où l’on déduirait, comme au n^o 158,

(β)

${\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}-{\frac {d\xi _{i}}{dt}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

D’autre part, l’équation (5), différentiée par rapport à $w_{k},$ nous donne

(γ)

${\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

Posons maintenant

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dt}}\;\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&=\mathrm {X} _{i}^{k},\\{\frac {d\xi _{i}}{dw_{k}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}\cos w_{i}&=\mathrm {Y} _{i}^{k},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\cos w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\sin w_{i}&=\mathrm {A} _{i},\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}}\sin w_{i}&{}+{}&{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\;\cos w_{i}&=\mathrm {B} _{i}.\end{alignedat}}$

En effet, avec ces nouvelles notations, les équations (3) et (4)