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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Supposons donc que l’on ait déterminé

${\begin{array}{rrrr}\xi _{i}^{1},&\xi _{i}^{2},&\ldots ,&\xi _{i}^{p-1};\\\eta _{i}^{1},&\eta _{i}^{2},&\ldots ,&\eta _{i}^{p-1};\\x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1};\\y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1};\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&\ldots ,&n_{k}^{p-2};\\\mathrm {S} _{1},&\mathrm {S} _{2},&\ldots ,&\mathrm {S} _{p},\end{array}}$

et que l’on se propose de déterminer

$\xi _{i}^{p},\quad \eta _{i}^{p},\quad x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p-1},\quad \mathrm {S} _{p+1}.$

Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre $p$ et dans les deux membres de (5) et de (6) les termes d’ordre $p+1.$

Je poserai pour abréger, comme dans le Chapitre précédent,

$\Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot$

Il viendra alors

(7)

$\Delta y_{i}^{p}=\Phi +2\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}^{p}\cos w_{i}+\eta _{i}^{p}\sin w_{i}\right)+n_{i}^{0}x_{i}^{p}+n_{i}^{p-1}x_{i}^{1},$

(8)

${\textstyle \sum }\,2\mathrm {A} _{i}\left(\xi _{i}^{1}\xi _{i}^{p}+\eta _{i}^{1}\eta _{i}^{p}\right)+\Phi +\mathrm {const.} =0,$

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{p}\,{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,\eta _{i}^{p}\,{\frac {d\xi _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\Phi .$

Si nous remarquons que

${\begin{aligned}d\xi _{i}^{1}&=-\eta _{i}^{1}\,dw_{i},&d\eta _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1}\,dw_{i},\end{aligned}}$

nous pourrons écrire

(9)

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\xi _{i}^{1}\xi _{k}^{p}+\eta _{i}^{1}\eta _{k}^{p}+\Phi .$

Si nous combinons (8) et (9), nous aurons

(10)

$\Delta \mathrm {S} _{p+1}=\Phi +\mathrm {const.} ;$

d’autre part, (9) pourra s’écrire

(11)

${\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}=\alpha _{k}x_{k}^{p}+\Phi ,$