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CHAPITRE XV.

nous avons vu qu’on pouvait déterminer ces quantités par les seules équations (22) du n^o 155, équivalentes à (7 e) et (8 e).

Mais je veux indiquer un autre procédé où l’on se sert seulement de (4 e), (6 c′) et(8 e) et qui se rapproche davantage de la méthode que j’ai toujours suivie dans le présent Chapitre.

Il pourrait donc y avoir intérêt à démontrer que (7 e) peut se déduire de (4 e), (6 c′) et (8 e) ; mais pour cela il est nécessaire d’examiner avec plus de détail comment (7) peut se déduire de (4 bis), (6 bis) et (8) et par conséquent de faire une digression qui va occuper les numéros suivants.

163.Reprenons le problème et les notations du n^o 158 ; les renvois se rapporteront tous, sauf avis contraire, à ce numéro. Nous avons démontré, au début de ce numéro, que les équations (2) sont une conséquence des équations (1), (3), (4) et (6). Mais on peut se poser la question suivante : Supposons que l’on ait satisfait à toutes les équations, déduites de (1), (3), (4) et (6) en égalant dans les deux membres les termes indépendants de $\mu ,$ les termes en $\mu ,$ en $\mu ^{2},$ et ainsi de suite jusqu’aux termes en $\mu ^{p}$ inclusivement. S’ensuivra-t-il qu’on aura satisfait du même coup aux équations déduites de (2) en égalant dans les deux membres les termes tout connus, les termes en $\mu ,$ en $\mu ^{2},\,\ldots ,$ en $\mu ^{p}\,?$ En d’autres termes, je suppose qu’on ait satisfait aux équations (1), (3), (4) et (6) aux termes en $\mu ^{p+1}$ près, c’est-à-dire de telle façon qu’après la substitution de notre solution approchée la différence des deux membres soit divisible par $\mu ^{p+1}\,;$ s’ensuit-il que les équations (2) seront également satisfaites aux termes en $\mu ^{p+1}$ près ? Si les équations (1), (3), (4) et (6) sont satisfaites aux termes en $\mu ^{p+1}$ près, il en sera de même des équations que l’on en déduit par voie de différentiation, d’addition ou de multiplication, telles par exemple que les équations (7) et (8). Les équations (7) et (8) seront donc encore vraies, avec cette différence que dans le second membre 0 devra être remplacé par une fonction développable suivant les puissances de $\mu$ et divisible par $\mu ^{p+1}.$

Nous aurons donc

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=\mathrm {H} ,$