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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

pas ordinairement convergents au sens géométrique du mot le deviennent quand on annule les constantes $x_{i}'^{0}.$

Comme les constantes $x_{i}'^{0}$ sont généralement petites, on voit que la solution réelle ira en oscillant autour de la solution périodique sans s’en écarter beaucoup.

Considérons maintenant dans le développement de $\Lambda ,$ de $\lambda$ et des expressions (26), les termes du premier degré par rapport aux $x_{i}'^{0}\,;$ nous verrons, en tenant compte des résultats des n^o 153 et 154, qu’ils seront de la forme

(27)

${\textstyle \sum }_{k}\,x_{k}'^{0}\cos \left(w_{k}'-w_{1}\right)\varphi _{k}+{\textstyle \sum }_{k}\,x_{k}'\sin \left(w_{k}'-w_{1}\right)\psi _{k},$

$\varphi _{k}$ et $\psi _{k}$ étant des fonctions périodiques développables suivant les sinus et cosinus multiples de $w_{1}-w_{2}.$

L’interprétation de ce résultat est évidente. Dans le Chapitre IV nous avons considéré les équations aux variations relatives à une solution périodique donnée. Considérons alors nos équations du mouvement et la solution périodique de la première sorte que l’on en obtient en annulant tous les $x_{i}'^{0}.$ Les expressions (27) ne seront pas alors autre chose que la solution la plus générale des équations aux variations correspondantes.

On en conclut que les exposants caractéristiques relatifs à cette solution de la première sorte sont

$\pm {\sqrt {-1}}\left(n_{k}'-n_{1}\right).$

Il importe d’observer que dans cette expression les constantes $x_{i}'^{0}$ (dont dépendent $n_{k}'$ et $n_{1}$) doivent être égalées à 0.

On peut se proposer de déduire des développements (4) et (17) les solutions périodiques de la deuxième et de la troisième sorte, ainsi que nous l’avons fait pour celles de la première sorte. Cela est un peu plus difficile.

Pour mieux faire comprendre ce qu’il y a à faire, je vais prendre d’abord un exemple plus simple. Reprenons les séries du n^o 127 et proposons-nous d’en déduire les solutions périodiques du n^o 42. Nous avons vu que, dans les séries du n^o 127, on peut choisir arbitrairement les valeurs moyennes des fonctions périodiques $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p}$ et qu’en particulier on peut faire ce choix de telle façon que $n_{i}^{p}$ soit nul toutes les fois que $p>0.$ On peut même réaliser cette