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CHAPITRE XIV.

calculs un artifice dont j’avais déjà parlé à la fin du n^o 140 et que j’ai rappelé au commencement du n^o 152. Il consiste à regarder comme du second ordre des termes qui ne contiennent les masses qu’au premier degré.

Cet artifice est légitime à cause de l’extrême petitesse de ces termes ; mais il n’est pas sans inconvénient. En effet, la signification du paramètre $\mu$ s’en trouve altérée. En faisant $\mu =0,$ on tombe sur un cas particulier du Problème des trois Corps, celui où les masses perturbatrices sont nulles et le mouvement képlérien ; en donnant à $\mu$ une certaine valeur très petite déterminée, on tombe sur un autre cas particulier du Problème des trois Corps, celui qui correspond aux véritables masses des corps que l’on considère. Mais, si l’on donne à $\mu$ une valeur intermédiaire, les équations sont celles d’un problème de Dynamique qui n’a plus aucun rapport avec le Problème des trois Corps.

Il n’en serait pas de même si l’on avait conservé à la lettre $\mu$ sa signification primitive, que nous avons définie au n^o 11 ; quelle que soit alors la valeur attribuée à $\mu ,$ les équations sont celles d’un cas particulier du Problème des trois Corps correspondant à certaines valeurs des masses.

Il serait donc bien plus satisfaisant de restituer à la lettre $\mu$ sa signification primitive et de chercher à développer nos variables non seulement suivant les puissances de $\mu ,$ mais encore suivant celles de ces constantes que nous avons appelées $x_{i}'^{0}$ et qui sont de l’ordre des excentricités.

Les équations du mouvement sont encore de même forme ; seulement la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ que j’appellerai toujours $\mathrm {R}$ a une expression plus compliquée. On n’a plus simplement, comme au n^o 152,

(16)

$\mathrm {R} =\mathrm {B} +{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\left(\sigma _{i}^{2}+\tau _{i}^{2}\right)\,;$

mais $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances croissantes de $\sigma _{i}$ et $\tau _{i}$ et le second membre de (16) représente seulement les premiers termes du développement, à savoir ceux de degré 0 et de degré 2 (tous les termes étant comme on sait de degré pair).

Développons donc nos variables (1) suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ conservons les développements (4) et soit, d’autre