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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

mentent d’une même quantité et qu’ici $\mathrm {F}$ a cessé de dépendre de $v_{1}$ et de $v_{2}.$

Il résulte de là que les deux équations

${\begin{aligned}\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},\lambda _{2},\lambda '_{2}\right)&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}&=\mathrm {C} ',\end{aligned}}$

(où $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont deux constantes quelconques) sont compatibles ; on en tirera ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}$ et, par conséquent, $\mathrm {S}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu .$

L’intégrale ainsi obtenue dépend de deux constantes arbitraires $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '\,;$ mais ces deux constantes peuvent s’exprimer à l’aide de deux des quatre constantes primitivement choisies, à savoir de $\Lambda _{0}$ et de $\Lambda '_{0},$ les deux autres constantes $\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ étant nulles par hypothèse.

Nous appellerons cette intégrale particulière de l’équation (6),

(7)

$\Sigma (\lambda _{2},\,\lambda '_{2},\,\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0}).$

Si les constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont convenablement choisies (Cf. 125), $\Sigma$ sera de la forme suivante

$\Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{0}+{}$ fonction périodique de ${}\lambda _{2}-\lambda '_{2}.$

La discussion de cette intégrale particulière $\Sigma$ ne conduirait pas, ainsi qu’on serait tenté de le croire, à des solutions particulières simples du Problème des trois Corps.

Forme des développements.

140.L’existence de la fonction $\mathrm {S}$ étant ainsi démontrée, on peut en déduire le résultat suivant, en raisonnant comme au n^o 125.

Il existe des séries

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&=\Lambda _{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda _{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda '_{0}&{}+{}&\mu \,\Lambda '_{1}&{}+{}&\mu ^{2}\Lambda '_{2}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {V} _{i}&=\mathrm {V} _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {V} _{i}^{2}&{}+{}&\mu ^{2}\mathrm {V} _{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda _{2}&=w_{1}&{}+{}&\mu \,y_{1}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{1}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\\lambda '_{2}&=w_{2}&{}+{}&\mu \,y_{2}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{2}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\v_{1}&=w_{3}&{}+{}&\mu \,y_{3}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{3}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\v_{2}&=w_{4}&{}+{}&\mu \,y_{4}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{4}^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.$