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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

des fonctions périodiques $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ soient telles fonctions arbitraires que l’on veut des $x_{i}^{0}.$

Observons qu’après comme avant la transformation de ces séries par les procédés du n^o 126, l’expression $\textstyle \sum x_{i}\,dy_{i}$ (considérée comme fonction des $w_{i}$ pendant que les $x_{i}^{0}$ seront regardés comme des constantes) devra être une différentielle exacte.

Soit donc encore

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Supposons qu’il y ait $2n$ variables conjuguées deux à deux ; que les variables de la première série soient de deux sortes ; nous appellerons celles de la première sorte les $x_{i},$ celles de la deuxième sorte les $x'_{i}.$

Les variables de la deuxième série conjuguées des $x_{i}$ s’appelleront les $y_{i}$ et celles qui sont conjuguées des $x'_{i}$ s’appelleront les $y'_{i},$ de sorte que nos équations canoniques s’écriront

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dx'_{i}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}},\\{\frac {dy_{i}}{dt}}&=\,-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},&{\frac {dy'_{i}}{dt}}&=\,-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Je suppose que $\mathrm {F} _{0}$ dépende des $x_{i},$ mais non des $y_{i},$ des $y'_{i},$ ni des $x'_{i},$ que $\mathrm {F}$ est périodique par rapport aux $y_{i}$ et aux $y'_{i}\,;$ que, si l’on appelle $\mathrm {R}$ la partie moyenne de $\mathrm {F} _{1}$ (en considérant pour un instant $\mathrm {F} _{1}$ comme une fonction périodique des $y_{i}$ seulement, mais non des $y'_{i}$), $\mathrm {R}$ ne dépende pas des $y'_{i},$ mais seulement des $x_{i}$ et des $x'_{i}.$ Ce sont, en sommé, les mêmes hypothèses que celles du n^o 134.

Nous avons vu alors qu’on peut satisfaire formellement aux équations (1) par des séries de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{i}&={x}_{i}^{0}&{}+{}&\mu \,{x}_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}{x}_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\x_{i}'&=x_{i}'^{0}&{}+{}&\mu \,x_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{i}'&=w'_{i}&{}+{}&\mu \,y_{i}'^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}'^{2}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

les $x_{i}^{k},\,x_{i}'^{k},\,y_{i}^{k},\,y_{i}'^{k}$ étant des fonctions périodiques des $w_{i}$ et des $w'_{i}$ dépendent en outre des constantes $x_{i}^{0}$ et $x_{i}'^{0}$ et dont les valeurs moyennes peuvent être des fonctions arbitrairement