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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les lettres

(23)

$\left\{{\begin{array}{rrrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p+1},\\n_{i},&y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{p}\end{array}}\right.$

ont la même signification que dans le n^o 108. La seule différence est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle de $\mu$ est ici égal à $\alpha ^{2}\,;$ les quantités (23) sont donc des fonctions connues de $v$ et de $w.$ Quant à $\alpha ^{p+1}v_{i}$ et $\alpha ^{p}v_{i}',$ ce sont des termes complémentaires quelconques. Je me propose de rechercher à quelle condition $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de $\alpha ,$ des $v_{i}$ et des $v_{i}'.$

Posons pour abréger

${\begin{alignedat}{9}\alpha x_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p+1}x_{i}^{p+1}&&{}+{}\alpha ^{p+1}&v_{i}&=x_{i}',\\\alpha y_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p}y_{i}^{p}&&{}+{}\alpha ^{p}&v_{i}'&=y_{i}'.\end{alignedat}}$

La condition nécessaire et suffisante pour que

$\mathrm {F} (x_{i}^{0}+x_{i}',\,n_{i}t+y_{i}^{0}+y_{i}')$

soit développable suivant les puissances croissantes des $x_{i}'$ et des $y_{i}'$ et, par conséquent, suivant celles de $\alpha ,$ des $v_{i}$ et des $v_{i}',$ sera évidemment que le point

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}\end{aligned}}$

ne soit pas un point singulier pour $\mathrm {F} .$

Or $x_{i}^{0}$ et $n_{i}$ sont des constantes ; les $y_{i}^{0}$ sont des fonctions de $w$ définies par les équations (8) du n^o 108. Mais il arrivera, dans la plupart des applications, que, si l’on donne à $x_{i}^{0}$ et à $n_{i}$ les valeurs constantes qui correspondent à une solution périodique, $\mathrm {F}$ restera holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux $y_{i}^{0}.$

Prenons, par exemple, le problème du n^o 9 et supposons que $x_{1}=\mathrm {L} ,$ $x_{2}=\mathrm {G}$ définissent la forme de l’ellipse décrite par la masse infiniment petite, pendant que $y_{1}=l,$ $y_{2}=g-t$ définissent la position du périhélie de cette ellipse et celle de la masse sur son orbite.

Pour que $\mathrm {F}$ cessât d’être holomorphe, il faudrait que cette masse infiniment petite rencontrât une des deux autres masses ;