188
CHAPITRE IV.
quand le temps n’entre pas explicitement. Si de plus il y a une intégrale
on aura, comme au no 64,
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}\right]=\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d1be36bf9f1bf319e2a5352691098c25d9444a)
et, en différentiant cette relation par rapport à
et à
il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{c}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{i}}}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{i}}}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{i}}}=0\\(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b782c8c156d9f994cf8d528c685e9d0deec2b52)
![{\displaystyle {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}+{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}+\ldots +{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4b34f777f7aa5be992f625adeb400604ade317)
On en conclura ou bien que l’on a à la fois
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d20f8163c39c74fd76b329c065d9903722b278d)
pour tous les points de la solution périodique, ou bien que tous
les déterminants contenus dans la matrice
![{\displaystyle \left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\ldots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ab7649aed3f97348acbd22a4db561142311849)
sont nuls à la fois.
Or nous avons vu, au no 63, que cela ne peut avoir lieu que si
deux exposants caractéristiques s’annulent.
67.Je me propose maintenant d’établir ce qui suit :
Supposons encore que le temps n’entre pas explicitement dans
nos équations différentielles ; supposons que ces équations
admettent
intégrales analytiques et uniformes et où le temps
n’entre pas non plus explicitement. Soient
ces
intégrales.
Alors, ou bien
exposants caractéristiques seront nuls, ou