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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Or les exposants caractéristiques
sont donnés par l’équation
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\\\end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f03b919c2a8c41b21359e29862b351adc6171b)
Dire que
est nul, c’est donc dire que l’un des exposants caractéristiques
est nul ; de sorte que nous pouvons énoncer ainsi le premier
des théorèmes démontrés au paragraphe précédent :
Si les équations (1) qui dépendent d’un paramètre
admettent
pour
une solution périodique dont aucun des exposants
caractéristiques ne soit nul, elles admettront encore une
solution périodique pour les petites valeurs de
63.On peut arriver à un résultat analogue quand on suppose,
comme au no 38, que le temps n’entre pas explicitement dans les
équations différentielles.
Nous avons vu au no 38 que la condition suffisante pour qu’il y
ait encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de
c’est que pour
tous les déterminants contenus dans la matrice
![{\displaystyle \left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\end{array}}\right|\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c6a7088bf58c13b20357f0dbaa34243c845de0)
ne soient pas nuls à la fois.
Cela posé, considérons l’équations en
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecee5472c8bb8693449517f1f5968f45e9148ec)