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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
solution périodique
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce40373970327becb34eaea433380fb0fd934b9)
qui correspond à
et qui nous sert de point de départ, on a
pour
(et par conséquent encore pour toutes les valeurs de
)
![{\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165ca9e686298a6dab51e4ff57d95da949298218)
de sorte que
seraient des constantes,
ce que nous ne supposerons pas.
D’autre part, je dis que
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1877d7306c911e02c27b5546e9d1008fa3e621b2)
Nous avons, en effet, comme on l’a vu plus haut, page 91
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}+{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb75748ec0e28fca0a5d5d36150a10d53c34c5f)
Or
nous avons donc une série d’équations linéaires
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\ldots +{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}=0\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826aaec03d65e7594441066857bc2473ae57ae16)
et, comme le déterminant de ces équations (c’est-à-dire
) n’est pas
nul, il vient
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1877d7306c911e02c27b5546e9d1008fa3e621b2)
Comme nous avons exclu le cas où
sont des constantes, cas qui sera examiné à part,
au no 68, nous en concluons que
C.Q.F.D.
Ainsi, si les équations différentielles ne contiennent pas le temps
explicitement, si elles admettent une solution périodique pour
l’un des exposants caractéristiques de cette solution sera
toujours nul ; si, de plus, aucun autre de ces exposants n’est nul, il
y aura encore une solution périodique pour les petites valeurs de