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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Appelons

$\Delta _{1},\quad \Delta _{2},\quad \dots ,\quad \Delta _{n},\quad \Delta _{n+1}$

les déterminants contenus dans cette matrice ; $\Delta _{i}$ sera le déterminant obtenu en y supprimant la $i$^ième colonne.

La solution périodique, qui nous a servi de point de départ et qui appartient aux équations (1) pour $\mu =0,$ s’écrivait, on se le rappelle,

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Je désigne par $\varphi '_{i}(t)$ la dérivée de cette fonction $\varphi _{i}(t)$ et voici ce que je me propose de démontrer :

Si $\varphi '_{n}(0)$ n’est pas nul, le déterminant $\Delta _{n}$ ne peut s’annuler sans que tous les déterminants

$\Delta _{1},\quad \Delta _{2},\quad \dots ,\quad \Delta _{n},\quad \Delta _{n+1}$

s’annulent à la fois.

En effet, supposons que tous ces déterminants ne soient pas nuls à la fois et que $\Delta _{n}$ soit nul, je dis que $\varphi '_{n}(0)$ sera nul.

Les équations différentielles ne contenant pas le temps explicitement, admettront encore pour $\mu =0$ la solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h),$

quelle que soit la constante $h.$

Si donc on fait

$\tau =0,\qquad \mu =0,\qquad \beta _{i}=\varphi _{i}(h)-\varphi _{i}(0),$

les $\psi$ s’annuleront, quelle que soit $h.$

Cela aura lieu encore si $h$ est infiniment petit, ce qui donne les relations

(6)

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\varphi '_{1}(0)+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\varphi '_{2}(0)+\dots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\varphi '_{n}(0)$

$(i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Ces relations (6) montrent d’abord que $\Delta _{n+1}$ est nul.

De plus, il ne pourra pas y avoir entre les quantités

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}},\quad {\frac {d\psi _{i}}{d\tau }},$