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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
seulement
ou plutôt
, on pourrait facilement réunir
cette opération à la seconde si notre table fournissait immédiatement
le logarithme de la quantité
qui diffère de l’unité d’une
quantité du second ordre. Nous avons préféré cependant disposer notre
table d’une manière quelque peu différente à l’aide de laquelle, quoique ayant moins d’extension, nous pourrons interpoler d’une manière
beaucoup plus commode. En écrivant, par abréviation,
à la place de
, la valeur de
donnée dans l’article 37,
se change facilement, en
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {T} -{\dfrac {6}{5}}\mathrm {T} ^{2}+{\dfrac {9}{7}}\mathrm {T} ^{3}-{\dfrac {12}{9}}\mathrm {T} ^{4}+{\dfrac {15}{11}}\mathrm {T} ^{5}-\dots \mathrm {etc.} }{1-{\dfrac {6}{15}}\mathrm {T} +{\dfrac {7}{25}}\mathrm {T} ^{2}-{\dfrac {8}{35}}\mathrm {T} ^{3}+{\dfrac {9}{45}}\mathrm {T} ^{4}-\dots \mathrm {etc.} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dbc838d54f8a9ea7093d533a18abb63ba4753d)
dans laquelle la loi de formation des termes est facile.
En développant en séries, on déduit de là
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1\!-\!{\frac {4}{5}}\mathrm {A} \!+\!{\frac {8}{175}}\mathrm {A} ^{2}\!+\!{\frac {8}{525}}\mathrm {A} ^{3}\!+\!{\frac {1896}{336875}}\mathrm {A} ^{4}\!+\!{\frac {28744}{13138125}}\mathrm {A} ^{5}\!+\!\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e5df139972bf4e7a3bb3b89619cf019436b208)
En posant donc,
,
sera une quantité du quatrième ordre, laquelle est contenue dans notre table ; nous pourrons immédiatement passer de
à
par la formule,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}.{\sqrt {\frac {\mathrm {A} }{1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}}={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e024d710d6110d68d9ee3d2a692ee0990a4e6d0c)
en désignant par
la constante
. De cette manière nous
obtenons en même temps une formule très-commode pour le rayon
vecteur. On trouve en effet (art. 8, VI),
![{\displaystyle r={\frac {q\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {q}{(1+\mathrm {T} )\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1+{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbe94e39a99b6438ef8387f857c0a8c0050ccba)
.