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LIVRE I, SECTION III.

selon que $\cos f$ est positif ou négatif, on a

[12]

$\alpha ={\frac {8\left[l-{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

[12∗]

$\alpha ={\frac {-8\left[\mathrm {L} +{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

Le calcul de la quantité $l$ ou $\mathrm {L}$ est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire $\omega .$ On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),

${\begin{aligned}{\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c-{\frac {1}{\mathrm {C} c}}-{\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-\log \mathrm {C} c+\log {\frac {\mathrm {C} }{c}}\\&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\end{aligned}}$

ou, en éliminant $\mathrm {C}$ au moyen de l’équation 8,

${\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha }}+{\frac {1}{2}}\left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-2\log c.$

Nous substituons, dans cette équation, à la place de $\alpha$ sa valeur d’après 12, 12^∗ ; nous introduisons ensuite la lettre $m$ ou $\mathrm {M}$ avec la même signification que leur assignent les formules 11, 11^∗, art. 88 ; et enfin, nous écrivons pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {\frac {1}{c}}}{\frac {}{}}\right)^{2}&=\!z,&{\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-4\log c}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}&=\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$

De cette manière, on obtient les équations

[13]

$m=(l-z)^{\frac {1}{2}}+(l-z)^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} ,$

[13∗]

$\mathrm {M} =-(\mathrm {L} +z)^{\frac {1}{2}}+(\mathrm {L} +z)^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} ,$