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LIVRE I, SECTION III.
et aussi
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{a}}}=\pm {\frac {\sqrt {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}}{\sin g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e23ed58137630e9e5b760796099af4b6a26ba4)
dans laquelle il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que
sera positif ou négatif. La formule XII de l’art. 8
nous donne l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&=\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} '-\mathrm {E} +e\sin \mathrm {E} \\&=2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} \\&=2g-\sin 2g+2\cos f\sin g{\frac {\sqrt {rr'}}{a}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a65da186c56b9296e45c4ff0a9841108872fbda)
Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de
sa
valeur [10], et qu’on pose par abréviation
[11]
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,
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on trouve, toutes réductions convenablement faites,
[12]
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dans laquelle le signe supérieur ou le signe inférieur doit être placé
devant
, suivant que
est positif ou négatif.
Toutes les fois que le mouvement héliocentrique est compris entre
180° et 360°, ou plus généralement, toutes les fois que
est négatif, la quantité
déterminée par la formule [11] devient imaginaire. Pour éviter cela, nous adopterons dans ce cas là, à la place
des équations [9] et [11], les suivantes :
[9∗]
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,
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[11∗]
|
,
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d’où nous obtiendrons, à la place des formules [10] et (12]