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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

XI.

$\sin {\frac {1}{2}}(v+\mathrm {E} )=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{p}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}.$

XII.

$\mathrm {M} =\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} .$

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Si par un point quelconque de l’ellipse on abaisse une perpendiculaire sur la ligne des apsides et qu’on la prolonge jusqu’à ce qu’elle rencontre le cercle décrit du centre de l’ellipse avec le rayon $a$, l’angle formé par le rayon qui correspond à ce point d’intersection avec la ligne des apsides (angle conçu de la même manière que l’anomalie vraie) sera égal à l’anomalie excentrique, ainsi qu’on peut le déduire de l’équation IX de l’article précédent. Il est ensuite évident que $r\sin v$ est la distance de ce point de l’ellipse à la ligne des apsides ; cette distance qui, d’après l’équation VIII, $=a\cos \varphi \sin \mathrm {E}$, sera maximum pour $\mathrm {E} =90^{\circ },$ c’est-à-dire au centre de l’ellipse. Cette distance maximum qui est égale à $a\cos \varphi ={\sqrt {{\overset {}{a}}p}}$ est appelée le demi petit axe. Au foyer de l’ellipse, c’est-à-dire pour $v=90^{\circ },$ cette distance est évidemment égale à $p$ ou égale au demi-paramètre.

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Les équations de l’article 8 contiennent toutes les relations qui servent à calculer les anomalies excentrique et moyenne au moyen de la vraie, ou les anomalies excentrique et vraie par la moyenne. Pour déduire l’anomalie excentrique de l’anomalie vraie, on emploie ordinairement la formule VII ; le plus souvent, cependant, il est préférable d’employer la formule X, principalement toutes les fois que l’excentricité n’est pas trop grande, cas dans lequel l’anomalie excentrique $\mathrm {E}$ peut être calculée avec plus de précision par la formule X que par la formule VII. De plus, en se servant de l’équation X, on a le logarithme-sinus $\mathrm {E}$ dont on a besoin pour l’équation XII, qui est d’abord obtenu par l’équation VIII ; en employant l’équation VII, il faudrait l’obtenir au moyen des tables ; si donc on cherche, d’après cette méthode, ce logarithme dans les tables, on obtiendra par là en même temps une confirmation de l’exactitude du calcul. On effectue de cette manière les contrôles et les confirmations d’un long calcul, contrôles auxquels il faudra donc avoir égard, dans toutes les mé-