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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
VIII.
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En combinant les équations II et V, on déduit ensuite facilement,
IX.
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X.
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En différentiant la formule IV, on trouve (en regardant
comme
une quantité constante),
![{\displaystyle {\frac {du}{u}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v+\psi )-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\psi )\right)dv={\frac {r\operatorname {tang} \psi }{p}}\,dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f4084d413ff87f8e462666d170dce3ffc17f9)
et par suite,
![{\displaystyle r^{2}dv={\frac {pr}{u\operatorname {tang} \psi }}\,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41edd50d651b4be5ad6cd4260eb94acfdd2e06a)
ou, en substituant pour
sa valeur donnée dans l’équation X,
![{\displaystyle r^{2}dv=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{u}}\right]du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d733d6ed03d484d50c464068ccc224f507ed5a)
Intégrant cette équation de telle sorte que cette intégrale devienne
nulle au périhélie, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int r^{2}dv&=b^{2}\operatorname {tang} \psi \left[{\frac {1}{2}}e\left(u-{\frac {1}{u}}\right)-\log u\right]=kt{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {(1+\mu )}}\\&=kt\operatorname {tang} \psi {\sqrt {b}}{\sqrt {(1+\mu )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45d52a83d33ed3edfe23446df22f85522e24fc0)
Le logarithme est ici hyperbolique ; si l’on veut se servir des logarithmes du système de Briggs, ou plus généralement du système
dont le module
, et en négligeant la masse
(que nous pouvons supposer inappréciable, pour les corps décrivant l’hyperbole), l’équation
précédente prend la forme
XI.
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