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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.
![{\displaystyle {\frac {\cos \mathrm {M} }{\cos \mathrm {N} }}=+\cos \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea2e2d5c6b328c9f2c6b1b83d912828b0b0577c)
,
et par suite,
![{\displaystyle {\frac {\sin \mathrm {N} }{\sin \mathrm {M} }}=+\sin i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5356c7417e9bdf69a3189137fe956b5ccb131307)
.
Ceci posé, les formules II, VI, VII se changent en les suivantes :
II∗. |
![{\displaystyle \left({\frac {dl}{du}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e9d4c26d82e012d53ac27e9a71085986983bf5) |
.
|
VI∗. |
![{\displaystyle \left({\frac {db}{du}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2dc791b3ffd8c2213ffe52e6fc40c5384a6cc9) |
|
VII∗. |
![{\displaystyle \left({\frac {db}{di}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08586996e0c95a69570507fbd50d3108f1ff9a4) |
.
|
Ces transformations, relativement aux formules II et VII, n’arrêteront personne ; mais, en ce qui regarde la formule VI, quelque explication ne sera pas superflue.
En substituant, en effet, dans la formule VI d’abord
à la place de
, on trouve
|
|
On a maintenant,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\cos \omega \sin \mathrm {M} &=\cos ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} &{}+{}&\sin ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} \\&=\sin \omega \cos i\cos \mathrm {M} &{}+{}&\sin ^{2}i\cos \omega \sin \mathrm {M} \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1783f877c79a9ac9c753d823d9deab5dc864d788)
de là, la première partie de l’expression précédente se change en
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin i\cos(\mathrm {M} -u)(\sin i\cos \omega \sin \mathrm {M} \sin b+\cos \mathrm {M} \cos b)\\={}&\sin i\cos(\mathrm {M} -u)(\cos \omega \sin \mathrm {N} \sin b+\cos \omega \cos \mathrm {N} \cos b)\\={}&\cos \omega \sin i\cos(\mathrm {M} -u)\cos(\mathrm {N} -b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4525a4df661200193fe4f2811ff14e45ae83b961)
On a de même,
![{\displaystyle \cos \mathrm {N} =\cos ^{2}\omega \cos \mathrm {N} +\sin ^{2}\omega \cos \mathrm {N} =\cos \omega \cos \mathrm {M} +\sin \omega \cos i\sin \mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52ccc13837864ef74cee8a8758be22b70608698)
d’où la dernière partie de l’expression se change en
![{\displaystyle -\sin(\mathrm {M} -u)(\cos \mathrm {N} \sin b-\sin \mathrm {N} \cos b)=\sin(\mathrm {M} -u)\sin(\mathrm {N} -b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102f17c1b17ba4525c5e825a342802ddb0b916c7)
De là, résulte complètement l’expression VI∗.