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et par conséquent, lorsque

${\begin{aligned}\xi &=f,&\eta &=g,&\zeta &=h,\ldots ,\end{aligned}}$

on a

$\mathrm {d} \Omega =2\,\mathrm {d} t,$

quelles que soient les différentielles $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$, $\mathrm {d} z$, etc. Il suit de là qu’en supposant toujours,

${\begin{aligned}\xi &=f,&\eta &=g,&\zeta &=h,\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&{\frac {u^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}\,\mathrm {d} u^{0}+{\frac {u'}{{\mathcal {B}}'}}\,\mathrm {d} u'+{\frac {u''}{{\mathcal {C}}''}}\,\mathrm {d} u''+\ldots \\[0.75ex]{}={}&k^{0}\,\mathrm {d} u^{0}+k'\,\mathrm {d} u'+k''\,\mathrm {d} u''+\ldots .\end{aligned}}$

Or on voit facilement que si les différentielles $\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} y$, $\mathrm {d} z$, etc., sont indépendantes les unes des autres, il en sera de même pour $\mathrm {d} u^{0}$, $\mathrm {d} u'$, $\mathrm {d} u''$, etc., nous aurons, par conséquent, pour

${\begin{aligned}\xi &=f,&\eta &=g,&\zeta &=h,\ldots ,\\u^{0}&={\mathcal {A}}^{0}k^{0},&u'&={\mathcal {B}}'k',&u''&={\mathcal {C}}''k'',\ldots .\end{aligned}}$

Par conséquent, la valeur de $\Omega$ correspondant aux mêmes hypothèses, sera

${\mathcal {A}}^{0}{k^{0}}^{2}+{\mathcal {B}}'{k'}^{2}+{\mathcal {C}}''{k''}^{2}+\ldots +\mathrm {M} :$

ce qui, d’après l’art. 29, démontre l’exactitude de notre théorème.

Si d’ailleurs on désire effectuer la transformation de la fonction $t$, sans avoir recours aux formules (4) (art. 32), on a immédiatement les relations

${\begin{array}{l}{\begin{aligned}f&={\mathcal {A}}^{0}k^{0},\\g&={\mathcal {B}}^{0}k^{0}+{\mathcal {B}}'k',\\h&={\mathcal {C}}^{0}k^{0}+{\mathcal {C}}'k'+{\mathcal {C}}''k'',\end{aligned}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}$

qui permettront de déterminer $k^{0}$, $k'$, $k''$, etc., et nous aurons enfin

$\mathrm {K} ={}-{}{\mathcal {L}}^{0}k^{0}-{\mathcal {L}}'k'-{\mathcal {L}}''k''-\ldots .$