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en résolvant ces équations et commençant par la dernière. Je ne crois pas nécessaire de répéter de nouveau l’algorithme qui conduit à cette transformation de la fonction $\Omega$^[1].

Mais l’élimination qu’il faut effectuer pour trouver les poids de ces déterminations exige des calculs bien plus longs encore. Nous avons montré, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, que le poids de la détermination de la dernière inconnue, qui entre seule dans $u^{(\varpi -1)}$, est égal au dernier terme de la série des diviseurs ${\mathcal {A}}^{0}$, ${\mathcal {B}}'$, ${\mathcal {C}}''$, etc. Cette recherche est facile ; aussi plusieurs calculateurs, voulant éviter une élimination pénible, ont eu l’idée, faute d’autre méthode, de répéter la transformation indiquée en considérant successivement chaque inconnue comme la dernière. J’espère donc que les géomètres me sauront gré d’indiquer, pour calculer les poids des déterminations, une méthode nouvelle qui ne me semble plus rien laisser à désirer sur ce point.

32.

Posons

(1)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&u^{0}&{}={}&{\mathcal {A}}^{0}x&{}+{}&{\mathcal {B}}^{0}y&{}+{}&{\mathcal {C}}^{0}z&{}+{}&\ldots &{}+{}&{\mathcal {L}}^{0},\\&u'&{}={}&&&{\mathcal {B}}'\,y&{}+{}&{\mathcal {C}}'\,z&{}+{}&\ldots &{}+{}&{\mathcal {L}}'\,,\\&u''&{}={}&&&&&{\mathcal {C}}''z&{}+{}&\ldots &{}+{}&{\mathcal {L}}'',\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

on aura identiquement

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \Omega &=\xi \,\mathrm {d} x+\eta \,\mathrm {d} y+\zeta \,\mathrm {d} z+\ldots \\&=u^{0}\,{\frac {\mathrm {d} u^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}+{\frac {u'\,\mathrm {d} u'}{{\mathcal {B}}'}}+{\frac {u''\,\mathrm {d} u''}{{\mathcal {C}}''}}+\ldots \\&=u^{0}\left(\mathrm {d} x+{\frac {{\mathcal {B}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}\,\mathrm {d} y+{\frac {{\mathcal {C}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}\,\mathrm {d} z+\ldots \right)\\&+u'\left(\mathrm {d} y+{\frac {{\mathcal {C}}'}{{\mathcal {B}}'}}\,\mathrm {d} z+\ldots \right)\\&+u''\left(\,\mathrm {d} z+\ldots \,\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots ;\end{aligned}}$

1. On trouvera ces calculs dans une Note à la fin du volume. J. B.