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NOTES.

NOTE I.
EXPOSITION DE LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS.
(Extrait du Theoria Motus Corporum cœlestium.)

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1.

…… Abordons maintenant une recherche beaucoup plus générale et des plus fécondes dans toute application du calcul aux phénomènes naturels. Soient $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., $\mu$ fonctions des $\nu$ inconnues $p$, $q$, $r$, $s$, etc., et supposons que des observations directes aient donné, pour ces fonctions, les valeurs

${\begin{aligned}\mathrm {V} &=\mathrm {M} ,&\mathrm {V} '&=\mathrm {M} ',&\mathrm {V} ''&=\mathrm {M} '',\dots .\end{aligned}}$

En général, le calcul de ces inconnues constituera un problème indéterminé, déterminé ou plus que déterminé, suivant que l’on aura

$\mu <\nu$, $\quad \mu =\nu$,ou $\quad \mu >\nu$^[1].

Nous ne nous occuperons ici que du dernier cas, dans lequel évidemment il ne serait possible d’obtenir une représentation exacte de toutes les observations, que si ces observa-

1. Si, dans ce troisième cas, $\mu +1-\nu$ des fonctions $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., pouvaient être regardées comme des fonctions de toutes les autres, le problème deviendrait plus que déterminé relativement à ces fonctions, mais indéterminé relativement à $p$, $q$, $r$, $s$, etc. On ne pourrait pas en déduire les valeurs de ces dernières, même si les valeurs des fonctions $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., étaient d’une exactitude absolue : mais nous excluons ce cas particulier de nos recherches.