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comme nous l’avons déjà reconnu. On peut également assigner la valeur moyenne du produit $\mathrm {E} x\,.\,\mathrm {E} y$, qui sera

$m^{2}p\,(\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''+\ldots )=m^{2}p\,(\alpha \beta ).$

On énonce ces résultats plus brièvement de la manière suivante :

Les valeurs moyennes des carrés ${(\mathrm {E} x)}^{2}$, ${(\mathrm {E} y)}^{2}$, etc., sont respectivement égales aux produits de ${\frac {m^{2}p}{2}}$ par les quotients différentiels partiels du second ordre

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Omega }{\mathrm {d} \xi ^{2}}}&,&{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Omega }{\mathrm {d} \eta ^{2}}},\ldots ,&\end{aligned}}$

et la valeur moyenne d’un produit tel que $\mathrm {E} x\,.\,\mathrm {E} y$ est le produit de ${\tfrac {1}{2}}m^{2}p$ par ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\Omega }{\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta }}$, en regardant $\Omega$ comme fonction de $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc.

29.

Soit $t$ une fonction donnée et linéaire des quantités $x$, $y$, $z$, etc., par exemple,

$t=fx+gy+hz+\ldots +k\,;$

la valeur de $t$ déduite des valeurs les plus plausibles de $x$, $y$, $z$, etc., sera

$f\,\mathrm {A} +g\,\mathrm {B} +h\,\mathrm {C} +\ldots +k:$

nous la désignerons par $\mathrm {K}$. En désignant par $\mathrm {E} t$ l’erreur commise en l’adoptant, on aura

$\mathrm {E} t=f\,\mathrm {E} x+g\,\mathrm {E} y+h\,\mathrm {E} z+\ldots ;$

la valeur moyenne de cette erreur sera évidemment nulle, c’est-à-dire que l’erreur ne contiendra pas de partie constante, mais la valeur moyenne de ${(\mathrm {E} t)}^{2}$, c’est-à-dire de la somme

${\begin{aligned}f^{2}{(\mathrm {E} x)}^{2}&+2fg\,\mathrm {E} x\,.\,\mathrm {E} y+2fh\,\mathrm {E} x\,.\,\mathrm {E} z+\ldots \\&{\begin{aligned}+\;g^{2}{(\mathrm {E} y)}^{2}&+2gh\,\mathrm {E} y\,.\,\mathrm {E} z+\ldots \\&+h^{2}{(\mathrm {E} z)}^{2}+\ldots ,\end{aligned}}\end{aligned}}$