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et, par conséquent, la valeur minimum de $\Omega$, lorsque

$t=\mathrm {K} +\kappa ,$

sera

$\mathrm {M} +\theta ^{2}\omega =\mathrm {M} +{\frac {\kappa ^{2}}{\omega }}\cdot$

Réciproquement, si $\Omega$ doit rester inférieure à une valeur donnée $\mathrm {M} +\mu ^{2}$, la valeur de $t$ sera nécessairement comprise entre les limites $\mathrm {K} -\mu {\sqrt {\omega ^{\stackrel {}{}}}}$, $\mathrm {K} +\mu {\sqrt {\omega ^{\stackrel {}{}}}}$, et $\mu {\sqrt {\omega ^{\stackrel {}{}}}}$ sera l’erreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de $t$, si $\mu$ représente l’erreur moyenne d’observations dont le poids serait l’unité.

31.

Lorsque le nombre des inconnues $x$, $y$, $z$, etc., est un peu grand, la détermination des valeurs numériques de $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., par l’élimination ordinaire, est assez pénible. C’est pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l’orbite de Pallas (Commentaires de Gottingue, t. I), une méthode qui simplifie ce travail autant que possible.

La fonction $\Omega$ doit être ramenée à la forme suivante :

${\frac {{u^{0}}^{2}}{{\mathcal {A}}^{0}}}+{\frac {{u'}^{2}}{{\mathcal {B}}'}}+{\frac {{u''}^{2}}{{\mathcal {C}}''}}+{\frac {{u'''}^{2}}{{\mathcal {D}}'''}}+\ldots +\mathrm {M} ,$

où les diviseurs ${\mathcal {A}}^{0}$, ${\mathcal {B}}'$, ${\mathcal {C}}''$, ${\mathcal {D}}'''$, etc., sont des quantités déterminées ; $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., sont des fonctions linéaires de $x$, $y$, $z$, etc., telles que la seconde $u'$ ne contient pas $x$, la troisième $u''$ ne contient ni $x$ ni $y$, la quatrième ne contient ni $x$, ni $y$, ni $z$, et ainsi de suite, de sorte que la dernière $u^{(\varpi -1)}$ ne contient que la dernière des inconnues $x$, $y$, $z$, etc. ; enfin les coefficients de $x$, $y$, $z$, etc., dans $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., sont respectivement égaux ${\mathcal {A}}^{0}$, ${\mathcal {B}}'$, ${\mathcal {C}}''$, etc. Alors on pose

${\begin{aligned}u^{0}&=0,&u'&=0,&u''&=0,&u'''&=0,\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura très-facilement les valeurs de $x$, $y$, $z$, etc.,