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Multipliant respectivement, ou ces équations ou les équations (1) de l’art. 20, par $\lambda$, $\lambda '$, $\lambda ''$, etc., et ajoutant ensuite, on obtient l’identité

$\lambda v+\lambda 'v'+\lambda ''v''+\ldots =\mathrm {M} .$

27.

La fonction $\Omega$ peut se présenter sous plusieurs formes qu’il est important d’indiquer.

Élevons au carré les équations (1) [art. 20], et ajoutons-les membre à membre, nous trouverons

${\begin{aligned}\Omega &=x^{2}\sum a^{2}+y^{2}\sum b^{2}+z^{2}\sum c^{2}+\ldots +2\,xy\sum ab\\[1ex]&+2\,xz\sum ac+2\,yz\sum bc+\ldots +2\,x\sum al+2\,y\sum bl\\[1ex]&+2\,z\sum cl+\ldots +\sum l^{2}:\end{aligned}}$

c’est la première forme.

Multiplions les mêmes équations, respectivement, par $v$, $v'$, $v''$, etc., et ajoutons, on aura

$\Omega =\xi x+\eta y+\zeta z+\ldots +lv+l'v'+l''v''+\ldots ;$

remplaçons $v$, $v'$, $v''$, etc., par les valeurs indiquées dans l’article précédent, nous trouverons

$\Omega =\xi x+\eta y+\zeta z+\ldots -\mathrm {A} \xi -\mathrm {B} \eta -\mathrm {C} \zeta -\ldots +\mathrm {M} ,$

ou

$\Omega =\xi \,(x-\mathrm {A} )+\eta \,(y-\mathrm {B} )+\zeta \,(z-\mathrm {C} )+\ldots +\mathrm {M} \,:$

c’est la seconde forme.

Enfin, remplaçons, dans cette seconde forme, $x-\mathrm {A}$, $y-\mathrm {B}$, $z-\mathrm {C}$, etc. par les expressions (7) [art. 21], nous obtenons la troisième forme :

${\begin{aligned}\Omega &=(\alpha \alpha )\,\xi ^{2}+(\beta \beta )\,\eta ^{2}+(\gamma \gamma )\,\zeta ^{2}+\ldots +2\,(\alpha \beta )\,\xi \eta \\&+2\,(\alpha \gamma )\,\xi \zeta +2\,(\beta \gamma )\,\eta \zeta +\ldots +\mathrm {M} .\end{aligned}}$

On peut donner une quatrième forme qui résulte évidemment de la troisième et des formules des articles précé-