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L’équation (5) montre que l’on a

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}a\,\alpha &{}+{}&a'\alpha '&{}+{}&a''\alpha ''&{}+{}&\ldots &=1,\\b\,\alpha &{}+{}&b'\alpha '&{}+{}&b''\alpha ''&{}+{}&\ldots &=0,\\c\,\alpha &{}+{}&c'\alpha '&{}+{}&c''\alpha ''&{}+{}&\ldots &=0,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

Multiplions ces équations, respectivement, par $(\alpha \alpha )$, $(\alpha \beta )$, $(\alpha \gamma )$, etc., et ajoutons ; en ayant égard aux relations (4), on trouvera

$\alpha ^{2}+{\alpha '}^{2}+{\alpha ''}^{2}+\ldots =(\alpha \alpha )$.

21.

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives

${\begin{aligned}v&=0,&v'&=0,&v''&=0,\ldots ,\end{aligned}}$

il faudra, pour déterminer l’inconnue $x$, choisir une combinaison de la forme suivante,

$\varkappa v+\varkappa 'v'+\varkappa ''v''+\ldots =0,$

telle que l’inconnue $x$ acquière un coefficient égal à 1, et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera, d’après l’art. 18,

${\frac {1}{\varkappa ^{2}+{\varkappa '}^{2}+{\varkappa ''}^{2}+\ldots }}\cdot$

D’après l’article précédent, on obtiendra la détermination la plus convenable, en prenant

${\begin{aligned}\varkappa &=\alpha ,&\varkappa '&=\alpha ',&\varkappa ''&=\alpha '',\ldots \end{aligned}};$

alors $x$ aura la valeur $\mathrm {A}$. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., en effectuant l’élimination sur les équations

${\begin{aligned}\xi &=0,&\eta &=0,&\zeta &=0,\ldots \end{aligned}};$