grand, parce que l’intérêt auquel il est joint, est le moindre qu’il soit possible ou nul, & qu’il complette seul son payement. Pour en avoir donc la valeur, il faut, conformément à la remarque N°. 17, substituer (dans la formule du N°. 16) au lieu de pour numérateur de la fraction. Ce qui donnera Comme on peut le vérifier.
Il seroit inutile de pousser plus loin cette spéculation.
20. Il est évident que le calcul de l’intérêt & celui de l’escompte (Voyez Escompte) sont fondés sur les mêmes principes & assujettis aux mêmes regles, avec quelque légere différence dans l’application, qui en produit d’essentielles dans les résultats. Que, dans la premiere formule du N°. 6, on renverse la fraction , en sorte qu’elle devienne , on aura la formule de r pour l’escompte simple, & par elle les autres qui en dérivent. De même, que dans les formules du N°. 9, on prenne p non pour , mais pour , elles deviendront celles même de l’escompte correspondante.
On a vû ci-dessus que est l’intérêt redoublé ou composé pour un nombre m d’années quelconque, en y comprenant le principal ; & que est l’intérêt simple pour un nombre pareil d’années, en y comprenant de même le principal. Or il est aisé de voir, 1°. que si m est un nombre entier > que l’unité, on a ; car &c. Voyez Puissance & Binome ; or cette quantité est évidemment égale à une quantité réelle positive ; donc elle est plus grande que .
2°. Si m = 1, les deux quantités sont égales, comme il est très-aisé de le voir.
3°. Si , on aura ou ; car en élevant de part & d’autre à la puissance p, on aura d’une part ; & de l’autre, une quantité positive.
4°. Delà il est aisé de voir que si m est un nombre fractionnaire quelconque plus grand que l’unité, on aura en général ; & au contraire si m est un nombre fractionnaire quelconque plus petit que l’unité.
Donc en général, quand on en emprunte à intérêt composé, la somme dûe est plus forte s’il y a plus d’un an écoulé, qu’elle ne le seroit dans le cas de l’intérêt simple ; & au contraire, s’il y a moins d’un an écoulé, la somme dûe est moins forte que dans le cas de l’intérêt simple.
Pour rendre sensible à tous nos lecteurs cette observation importante, supposons qu’un particulier prête à un autre une somme d’argent à 3 pour 1 d’intérêt par an ; cette usure exorbitante ne peut sans
doute jamais avoir lieu en bonne morale ; mais l’exemple est choisi pour rendre le calcul plus facile : il est clair qu’au commencement de la premiere année, c’est-à-dire dans l’instant du prêt, le débiteur devra simplement la somme prêtée 1 ; qu’au commencement de la seconde année il devra la somme 4, & que cette somme 4 devant porter son intérêt à 3 pour 1, il sera dû au commencement de la troisieme année la somme 4, plus 12 ou 16 ; ensorte que les sommes 1, 4, 16, dûes au commencement de chaque année, c’est-à-dire à des intervalles égaux, formeront une proportion qu’on appelle geométrique, c’est-à-dire dans laquelle le troisieme terme contient le second comme celui-ci contient le premier. Or, par la même raison, si on cherche la somme dûe au milieu de la premiere année, on trouvera que cette somme est 2, parce que la somme dûe au milieu de la premiere année doit former aussi une proportion géométrique avec les sommes 1 & 4 dûes au commencement & à la fin de cette année ; & qu’en effet la somme 1 est contenue dans la somme 2, comme la somme 2 l’est dans la somme 4. Présentement dans le cas de l’intérêt simple, le débiteur de la somme 4 au commencement de la seconde année, ne devroit que la somme 7 & non 16 au commencement de la troisieme : mais au milieu de la premiere année, il devroit la somme 2 & ; car l’argent qui rapporte 3 pour 1 à la fin de l’année dans le cas de l’intérêt simple, & 6, c’est-à-dire le double de 3 à la fin de la seconde année, doit rapporter , c’est-à-dire la moitié de 3 au milieu de la premiere année. Donc dans le cas de l’intérêt composé, le débiteur devra moins avant la fin de la premiere année, que dans le cas de l’intérêt simple. Donc si l’intérêt composé est favorable au créancier dans certains cas, il l’est au débiteur dans d’autres cas ; la compensation, il est vrai n’est pas égale, puisque l’avantage du débiteur finit avec la premiere année, & que celui du créancier commence alors pour aller toûjours en croissant à mesure que le nombre des années augmente : néanmoins il est toûjours utile d’avoir fait cette observation, ne fût-ce que pour montrer que l’intérêt simple dans certains cas, est non-seulement moins favorable au débiteur, mais qu’il peut même être regardé comme injuste, si la convention est telle que le débiteur soit obligé de s’acquitter dans le courant de l’année de l’emprunt.
Si on représente les sommes dûes par les ordonnées d’une ligne courbe dont la premiere ordonnée (celle qui répond à l’abscisse = 0) soit = à la somme prêtée, & dont les ordonnées répondantes à chaque abscisse représentent les sommes dûes à la fin du tems représenté par cette abscisse ; il est aisé de voir 1°. que dans le cas de l’intérêt simple cette courbe sera une ligne droite ; 2°. que dans le cas de l’intérêt composé, elle tournera sa convexité vers son axe ; 3°. que dans le cas de l’intérêt composé si on nomme a la premiere ordonnée, & l’ordonnée qui répond à une abscisse = t ; l’ordonnée qui répondra à une abscisse quelconque pt sera ; p étant un nombre quelconque entier ou rompu, plus grand ou plus petit que l’unité. Voyez Logarithme & Logarithmique. Donc en général la somme dûe au bout du tems pt sera ; & si on suppose p infiniment petit, la différence des quantités a & sera à la quantité a comme la quantité pt est à la soutangente d’une logarithmique, qui ayant a pour premiere ordonnée, t pour abscisse, auroit pour l’abscisse correspondan-
