tion générale des hyperboles, nous faisons b=a ; l’équation est celle d’une hyperbole équilatere. Voyez Hyperbole.
Dans cette derniere équation on prend l’origine des coordonnés au sommet de l’hyperbole : si on les prenoit au centre, l’équation de l’hyperbole équilatere rapportée à son premier axe seroit , & rapportée au second axe, elle seroit . (O)
EQUILIBRE, s. m. en Méchanique, signifie une égalité de force exacte entre deux corps qui agissent l’un contre l’autre. Une balance est en équilibre quand les deux parties se soûtiennent si exactement, que ni l’une ni l’autre ne monte ni ne descend, mais qu’elles conservent toutes deux leur position parallele à l’horison. C’est de-là que le mot équilibre tire son étymologie, étant composé de æquus, égal, & libra, balance. C’est pourquoi aussi on se sert souvent du mot balancer ou contre-balancer pour désigner l’équilibre. Voyez Balance & Levier.
En général, la partie de la Méchanique qu’on appelle statique, a pour objet les loix de l’équilibre des corps.
Pour que deux corps ou deux forces se fassent équilibre, il faut que ces forces soient égales, & qu’elles soient directement opposées l’une à l’autre.
Lorsque plusieurs forces ou puissances agissent les unes contre les autres, il faut commencer par réduire deux de ces puissances à une seule, ce qui se fera en prolongeant leurs directions jusqu’à ce qu’elles se rencontrent, & cherchant ensuite par les regles de la composition des forces la direction & la valeur de la puissance qui résulte de ces deux-là ; on cherchera ensuite de la même maniere la puissance résultante de cette derniere, & d’une autre quelconque des puissances données, & en opérant ainsi de suite, on réduira toutes ces puissances à une seule. Or pour qu’il y ait équilibre, il faut que cette derniere puissance soit nulle, ou que sa direction passe par quelque point fixe qui en détruise l’effet.
Si quelques-unes des puissances étoient paralleles, il faudroit supposer que leur point de concours fût infiniment éloigné, & on trouveroit alors facilement la valeur de la puissance qui en resulteroit & sa direction. Voyez la Méchanique de Varignon.
Le principe de l’équilibre est un des plus essentiels de la Méchanique, & on y peut réduire tout ce qui concerne le mouvement des corps qui agissent les uns sur les autres d’une maniere quelconque. Voyez Dynamique.
Il y a équilibre entre deux corps, lorsque leurs directions sont exactement opposées, & que leurs masses sont entr’elles en raison inverse des vîtesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir. Cette proposition est reconnue pour vraie par tous les Méchaniciens. Mais il n’est peut-être pas aussi facile qu’ils l’ont crû, de la démontrer en toute rigueur, & d’une maniere qui ne renferme aucune obscurité. Aussi la plûpart ont-ils mieux aimé la traiter d’axiome que de s’appliquer à la prouver. Cependant, si on y veut faire attention, on verra qu’il n’y a qu’un seul cas où l’équilibre se manifeste d’une maniere claire & distincte, c’est celui où les deux corps ont des masses égales & des vîtesses de tendance égales & en sens contraires. Car alors il n’y a point de raison pour que l’un des corps se meuve plûtôt que l’autre. Il faut donc tâcher de réduire tous les autres cas à ce premier cas simple & évident par lui-même ; or c’est ce qui ne laisse pas d’être difficile, principalement lorsque les masses sont incommensurables. Aussi n’avons nous presque aucun ouvrage de Méchanique, où la proposition dont il s’agit soit prouvée avec l’exactitude
1°. Pour démontrer le plus rigoureusement qu’il est possible la proposition dont il s’agit, il faut supposer d’abord que les deux corps qui se choquent soient des parallelepipedes égaux & rectangles, dont les bases soient égales, & s’appliquent directement l’une sur l’autre ; ensuite on supposera que la base demeurant la même, un des parallelepipedes s’allonge en même proportion que sa vîtesse diminue ; par ce moyen on démontrera l’équilibre dans les parallelepipedes de même base, en suivant la méthode de l’endroit cité dans notre traité de Dynamique.
2°. Quand un des parallelepides est double de l’autre, au lieu de partager la vitesse V du petit en deux, on peut partager la masse m du grand en deux autres qui ayent chacune la vîtesse , & dont, outre cela, la partie antérieure ait encore la vîtesse , & la partie postérieure la vîtesse en sens contraire ; car par ce moyen les deux parties du grand corps se feront équilibre entr’elles, & il ne restera plus qu’une masse M d’une part, animée de la vîtesse V, & de l’autre qu’une masse ou M animée de la vîtesse , c’est-à-dire que tout sera égal de part & d’autre. On peut appliquer le même raisonnement aux autres cas plus composés.
3°. Quand on aura démontré les lois de l’équilibre pour des parallelepipedes de même base, on les démontrera pour des parallelepipedes de bases différentes, en employant le principe suivant : si deux parallelepipedes, égaux, rectangles, & semblables, sont fixés aux deux extrémités d’un levier, & qu’entre ces deux parallelepipedes on en place deux autres à égale distance des extrémités du levier, & qui agissent en sens contraire aux deux premiers, avec la même vîtesse de tendance, il y aura équilibre ; proposition dont la vérité ne sera point contestée, mais qu’il est peut-être difficile de démontrer rigoureusement. Sur quoi voyez l’article Levier.
4°. On applique ensuite cette même proposition pour démontrer l’équilibre des corps de figure quelconque, dont les masses sont en raison inverse de leurs vîtesses, & qui agissent l’un sur l’autre suivant des lignes qui passent par leur centre de gravité. Par le moyen de ces différens théoremes on aura démontré rigoureusement & sans restriction la loi de l’équilibre dans les corps qui se choquent directement. A l’égard de l’équilibre dans le levier, & autres machines, voyez Levier, Poulie, Forces mouvantes, Roue, Coin, Machine funiculaire, Vis, &c.
5°. On a demandé plusieurs fois si les lois du choc des corps sont telles qu’il ne pût pas y en avoir d’autres. Nous avons démontré au mot Dynamique, que les lois du choc dépendent de celles de l’équilibre ; ainsi la question se réduit à savoir, si les lois de l’équilibre sont telles qu’il ne puisse pas y en avoir d’autres ; or les lois de l’équilibre se réduisent, comme
