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mes pairs manquent, il est évident que chaque racine positive a sa pareille négative. Cela est évident ; car faisant $\scriptstyle yy=z$, l’équation est du troisieme degré. Voy. Abaissement. Or soient A, B, C, les valeurs de z, on aura donc $\scriptstyle yy=A$ ; donc $\scriptstyle y=+{\sqrt {A}},~y=-{\sqrt {A}}$ : de même $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {B}},~y=\pm {\sqrt {C}}$. Cela posé.

Soit a une des valeurs de y, −a en sera une autre ; & l’équation $\scriptstyle xx+yx+z$ donnera
$\scriptstyle xx+ax+{\frac {q}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {r}{2a}}=0$
$\scriptstyle xx-ax+{\frac {q}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {r}{2a}}=0$.

L’équation $\scriptstyle xx-yx+u$, donnera
$\scriptstyle xx-ax+{\frac {q}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {r}{2a}}=0$
$\scriptstyle xx+ax+{\frac {q}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {r}{2a}}=0$.

Ces deux dernieres équations reviennent au même que les deux précédentes ; donc voilà déjà quatre équations réduites à deux, & vingt-quatre à douze.

Je dis maintenant que $\scriptstyle xx\pm ax+{\frac {q}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {r}{2a}}$, donnera les mêmes racines que $\scriptstyle xx\pm bx+{\frac {q}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}\pm {\frac {r}{2b}}$, en supposant +b, −b deux autres racines de l’équation $\scriptstyle yb+2qy^{4}$, &c. =0. Car soit yy−aa, yy−bb, yy−cc, les trois racines, on aura $\scriptstyle 2q=-aa-bb-cc,~r=abc$ ; & les deux équations précédentes deviendront $\scriptstyle xx\pm ax-{\frac {bb}{4}}+{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {cc}{4}}\pm {\frac {bc}{2}}=0$, & $\scriptstyle xx\pm bx-{\frac {aa}{4}}+{\frac {b^{2}}{4}}-{\frac {cc}{4}}\pm {\frac {ac}{2}}=0$, dont les racines sont aisées à trouver, & sont les mêmes. On trouvera de même que $\scriptstyle xx\pm cx-{\frac {aa}{4}}+{\frac {cc}{4}}-{\frac {bb}{4}}\pm ab=0$, donne encore les mêmes racines ; donc en général les douze racines se réduisent à quatre, & ces quatre seront

$\scriptstyle -{\frac {a}{2}}+{\frac {b-c}{2}}$.

$\scriptstyle -{\frac {a}{2}}+{\frac {c-b}{2}}$.

$\scriptstyle +{\frac {a}{2}}+{\frac {b-c}{2}}$.

$\scriptstyle +{\frac {a}{2}}+{\frac {c-b}{2}}$.

Car il faut remarquer que le signe − de $\scriptstyle {\frac {bc}{2}}$ répond à +ax, & que le signe + répond à −ax ; il ne faut pas prendre +ax avec +bc, ni −ax avec −bc.

Si on fait quatre équations simples des quatre valeurs précédentes de x, on formera par le produit une équation du quatrieme degré qui sera la même que la proposée, en mettant pour q, s, r, leurs valeurs $\scriptstyle -{\frac {aa-bb-cc}{2}}$, $\scriptstyle {\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {aabb-aacc-bbcc}{4}}$, & abc. Ainsi tout s’accorde parfaitement, comme on le voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce dernier article des équations du quatrieme degré avec assez de soin ; mais, ce me semble, d’une maniere moins simple que nous ne venons de faire.

En résolvant d’une certaine façon quelques équations du quatrieme degré, on tomberoit dans un inconvénient semblable à celui du cas irréductible, c’est-à-dire qu’on trouveroit des quantités réelles sous une forme imaginaire. Soit, par exemple, $\scriptstyle x^{4}-a^{4}=0$, on a deux racines réelles x=a, x=−a, & deux autres imaginaires $\scriptstyle x={\sqrt {-aa}},~x=-{\sqrt {-aa}}$ ; cependant si on supposoit que l’équation $\scriptstyle x^{4}-a^{4}=0$, fût venue de ces deux-ci $\scriptstyle xx+px+q,~xx-px+q$, on trouveroit $\scriptstyle 2q-pp=0,~qq=-a^{4}$ : ainsi on auroit pour les deux équations, dont la multiplication produit $\scriptstyle x^{4}-a^{4}$, ces deux-ci :

$\scriptstyle xx\pm x{\sqrt {+2{\sqrt {-a^{4}}}}}\pm {\sqrt {-a^{4}}}=0$,

$\scriptstyle xx\mp x{\sqrt {\pm 2{\sqrt {-a^{4}}}}}\pm {\sqrt {-a^{4}}}=0$ ;

équations d’où l’on ne tirera que des valeurs de x sous une forme imaginaire ; néanmoins de ces différentes valeurs une sera =a, & une autre =−a. Voyez sur cela l’article Imaginaire. Voyez aussi les mémoires de l’acad. de Berlin, 1746, & l’ouvrage cité de M. de Bougainville.

Il est aisé de voir par tout ce qui a été dit, qu’il n’y a jusqu’à présent que les équations du second degré dont on ait une solution complete ; car 1°. les équations du troisieme degré tombent souvent dans le cas irréductible. 2°. Si une équation du troisieme degré a une racine réelle & commensurable, cette racine commensurable se présente sous une forme incommensurable, & il faut du travail pour la dégager de cette forme. Voy. Racine & Extraction. 3°. Les équations du quatrieme degré se réduisent, comme on vient de le voir, au troisieme, & sont par conséquent sujettes aux mêmes inconvéniens.

Lorsqu’une équation du troisieme degré a une racine commensurable, le plus court moyen de la déterminer, est d’essayer tous les diviseurs du dernier terme ; M. Newton, dans son arithmétique universelle, a donné une méthode pour abréger considérablement cet essai. Nous ne dirons rien de cette méthode, qui a été suffisamment expliquée & développée par MM. Gravesande & Clairaut, dans leurs élémens d’Algebre.

Passé le quatrieme degré, on n’a plus de méthode, même imparfaite & tronquée, pour résoudre les équations. Si la racine est réelle, il faut essayer les diviseurs du dernier terme ; si elle est incommensurable, il faut tâcher de connoître à-peu-près cette racine en nombres entiers, & se servir ensuite de la méthode expliquée au mot Approximation, pour approcher de plus en plus de la vraie valeur. La difficulté est d’avoir d’abord la racine cherchée exprimée à-peu-près en nombres entiers ou rompus ; on n’a point de méthode générale pour cela ; on n’a que des tentatives & des essais ; la méthode des cascades expliquée à l’article Cascade, est très-limitée, & par conséquent très-fautive. Cette méthode suppose, 1°. que la proposée ait toutes ses racines réelles ; 2°. que l’équation du maximum des y ait aussi toutes ses racines réelles ; 3°. que l’on puisse connoître toutes les racines de cette derniere équation du maximum, ou du moins qu’on les puisse connoître à-peu-près, ce qui revient à la même difficulté.

Si on trouve deux quantités a, b, peu différentes l’une de l’autre, qui étant substituées à la place de x dans une équation, donnent l’une un résultat positif, l’autre un résultat négatif, il s’ensuit que la valeur qui donne le résultat =0, & qui est la vraie racine de l’équation, sera entre a & b. En effet construisons une courbe de genre parabolique, nous verrons clairement que si une valeur de x donne l’ordonnée positive, & qu’une autre valeur de x donne l’ordonnée négative, la valeur de x qui donnera l’ordonnée =0, sera entre ces deux-là : mais il n’en faut pas conclure, que si on diminue, ou qu’on augmente tant soit peu cette valeur de x, qui donne le résultat =0, on aura deux résultats de signe différent ; car il est évident qu’une courbe parabolique peut atteindre son axe sans le couper, mais en le touchant seulement ; & en général pour qu’une quantité passe par le zéro, il n’est point nécessaire que les deux états voisins de cette quantité, l’un avant, l’autre après l’égalité à zéro, soient des états opposés. Cela est clair par les tangentes paralleles au diametre du cercle, où l’ordonnée positive devient zéro, & redevient ensuite positive, & par une infinité d’autres cas semblables.