L’Encyclopédie/1re édition/CASCADE

d’Argenville, d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

Texte établi par D’Alembert, Diderot, 1751 (Tome 2, p. 739-740).

CASCADE, s. f. (Hydraul. des Jard.) est une chûte d’eau qui tombe d’un lieu élevé dans un plus bas.

On en distingue de deux sortes ; la cascade naturelle, & l’artificielle.

La naturelle, occasionnée par l’inégalité du terrein, se nomme cataracte : telle est la cascade de Tivoli, de Terni, de Schafhouse, &c.

L’artificielle, dûe à la main des hommes, tombe en nappes, comme la riviere de Marly ; en goulettes, comme on en voit dans les bosquets de S. Cloud ; en rampe douce, comme celle de Sceaux ; en buffets, comme à Trianon & Versailles ; ou par chûtes de perrons, comme la grande cascade de S. Cloud.

On dit encore grande & petite cascade, qui se placent dans une niche de charmille ou de treillage, soit dans le milieu d’un fer à cheval, soit à la tête d’une piece d’eau. (K)

Méthode des cascades, (Algebre.) est le nom que M. Rolle, géometre de l’Académie des Sciences, a donné autrefois à une méthode qu’il avoit imaginée pour résoudre les équations. Il la publia en 1690 dans son traité d’Algebre. Par cette méthode on approche toûjours de la valeur de l’inconnue, par des équations successives qui vont toûjours en baissant ou en tombant d’un degré ; & de-là est venu le nom de cascades. Voyez Equation.

On trouve dans l’Analyse démontrée du P. Reyneau, liv. VI. une méthode par laquelle on approche des racines d’une équation, en résolvant des équations qui vont toûjours en baissant d’un degré ; & cette méthode paroît avoir beaucoup de rapport à celle de M. Rolle. En voici l’idée. Soit, par exemple, une équation du troisieme degré $\scriptstyle x^{3}-px^{2}+qx+r=0$, dont les trois racines soient réelles & positives a, b, c, a étant la plus petite, & c la plus grande ; soit multipliée cette équation par les termes d’une progression arithmétique 3, 2, 1, 0 ; elle deviendra l’équation du second degré $\scriptstyle 3x^{2}-2px+q=0$, dont les deux racines sont réelles, & sont telles que la plus petite est entre a & b, & la plus grande entre b & c : ainsi cherchant les deux racines de cette équation du second degré, on aura les limites entre lesquelles b est renfermé ; & on pourra trouver ensuite cette racine b par approximation : la racine b étant trouvée, on connoîtra les autres a, c.

Pour démontrer cette méthode, soit $\scriptstyle x^{3}-px^{2}+qx+r=y$, l’équation d’une courbe de genre parabolique. Voy. ce mot. L’équation $\scriptstyle 3x^{2}-2px+q=0$, sera l’équation des points qui donneront les maxima de y. Voyez Maximum. Et ces points, comme il est aué de le voir, seront situés de maniere qu’ils seront l’un d’un côté, l’autre de l’autre côté du point qui donnera la racine moyenne de l’équation $\scriptstyle x^{3}-px^{2}+qx+r=0$, c’est-à-dire du second point où la courbe coupera son axe. Voyez Racine ; voyez aussi dans les Mém. acad. 1741. deux Mémoires de M. l’abbé de Gua sur le nombre des racines, où il fait usage des courbes de genre parabolique.

En voilà assez pour faire sentir comment on parvient à trouver au moins par approximation les racines d’une équation, en changeant cette équation en une autre d’un degré inférieur. On trouve dans le livre VI. du P. Reyneau, tout le détail de cette méthode, qui est extrèmement pénible, peu commode, & très-imparfaite dans la pratique, sur-tout lorsqu’il y a des racines imaginaires. Voyez Limite. (O)