déterminés, auxquels satisferoient une infinité de nombres incommensurables. Par exemple, on propose de trouver un triangle rectangle dont les côtés x, y, z, soient exprimés par des nombres commensurables. Il est certain qu’on aura en général xx + yy = zz, z étant supposée l’hypothenuse. Voy. Hypothenuse. Mais on voit aussi que l’on peut prendre x & y, tels que z soit un incommensurable ; car si, par exemple, x = 1 & y = 2, on aura . Or il s’agit de déterminer x & y à être tels, que non seulement x & y, mais encore z soient des nombres commensurables. De même soit proposé de partager un nombre quarré a2 en deux autres nombres qui soient aussi quarrés, & ainsi des autres. Voilà ce qu’on appelle les questions de Diophante.
L’art de résoudre ces sortes de questions consiste à employer & à manier tellement les inconnues ou l’inconnue, que le quarré & les plus hautes puissances de cette inconnue disparoissent de l’équation, & qu’il ne reste que l’inconnue élevée au premier degré, au moyen de quoi on résout cette équation sans avoir recours aux incommensurables. Donnons-en un exemple sur les triangles rectangles en nombres. On propose de trouver x, y, z, telles que xx + yy = zz : soit supposé z = x + u, on aura xx + yy = xx + 2xu + uu ; d’où l’on voit qu’on peut faire disparoître xx, & qu’on aura ; donc prenant y & u pour tout ce qu’on voudra, on trouvera que les côtés du triangle sont y, , & l’hypothenuse : par exemple, soit y = 3, u = 1, on aura , & . Ainsi 3, 4, sont les deux côtés du triangle, & 5 l’hypothenuse. On voit aisément que ce problème a une infinité de solutions.
Autre problème. Soit proposé de trouver une quantité x, telle que a + bx + xx soit un quarré, on fera de même a + bx + xx égale au quarré de x + z, & on aura a + bx = 2xz + zz ; donc . Ainsi prenant z pour tout ce qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit proposé de partager un nombre , composé de deux quarrés en deux autres quarrés ; soit , l’un des nombres cherchés, & l’autre, s & r étant des coefficiens indéterminés, on aura ; donc ; donc . Ainsi prenant pour r & s tel nombre qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit proposé de trouver x, telle que soit un quarré. Je fais , & j’ai , & divisant par , j’ai ; donc . Ainsi prenant pour z tout ce qu’on voudra, on aura x.
Voilà, ce me semble, un nombre suffisant d’exemples pour donner dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie, l’idée des problèmes de Diophante. Ceux qui voudront étudier plus à fond cette matiere, la trouveront très-bien traitée dans les élémens d’Algebre de Saunderson, in-4°. Cambridge 1740, liv. VI. t. II. M. Euler dans différens volumes des mémoires de Petersbourg, a donné aussi d’une maniere très savante la solution de plusieurs problèmes du genre de ceux de Diophante.
Remarquons en passant que cette méthode de réduire à des quantités rationnelles les quantités irrationnelles, est fort utile dans le calcul intégral, pour réduire une différentielle donnée en fraction rationnelle. Voyez Calcul intégral, Fraction rationnelle.
En effet soit donné , on transformera
« L’ouvrage de Diophante est, dit M. Saunderson, le premier ouvrage d’Algebre que nous trouvions dans l’antiquité. Ce n’est pas qu’il soit l’inventeur de cet art ; car outre qu’on trouve quelques traces dans des auteurs plus anciens, Diophante ne donne point dans son ouvrage les regles de l’Algebre : il traite cette science comme déjà connue ».
M. Saunderson fait ensuite un grand éloge de la sagacité que Diophante a montrée dans la solution des problèmes qui ont retenu son nom. Il ajoûte que du tems de Diophante, on ne connoissoit point encore la méthode de nommer par des lettres les nombres connus, comme on fait les nombres inconnus, ni la méthode d’introduire plusieurs lettres pour désigner plusieurs quantités inconnues différentes ; il reconnoît que faute de cet avantage, on trouve quelquefois dans les solutions de Diophante un peu de confusion. Nous n’examinerons point ici si ce qu’on trouve dans l’ouvrage de Diophante peut être regardé comme de l’Algebre ; & supposé que c’en soit en effet, jusqu’où les anciens paroissent avoir poussé cette science. C’est une question qui nous conduiroit trop loin, qui n’appartient qu’indirectement à cet article, & que nous pourrons avoir occasion de traiter ailleurs. Voyez Algebre & Mathématiques. (O)
DIOPTRE, s. m. (Chirurgie.) instrument qui sert à dilater la matrice ou l’anus, afin d’examiner les maladies de ces parties. On l’appelle aussi speculum & dilatatoire. V. Speculum & Dilatatoire. (Y)
DIOPTRIQUE, s. f. (Ordre encycl. Entendement, Raison, Philos. ou Science, Science de la Nature, Mathèmatiques mixtes, Optique en général, Dioptrique.) est la science de la vision qui se fait par des rayons rompus, c’est-à-dire par des rayons qui passant d’un milieu dans un autre, comme du verre dans l’air ou dans l’eau, se brisent à leur passage, & changent de direction. On appelle aussi cette science anaclastique. Ce mot qui vient du grec, signifie science des réfractions. Voyez Anaclastique & Vision.
Le mot Dioptrique tire son origine aussi du grec, & est composé de διὰ, per, au-travers, & ὄπτομαι, je vois.
La Dioptrique, prise dans un sens plus étendu, est la troisieme partie de l’Optique, dont l’objet est de considérer & d’expliquer les effets de la réfraction de la lumiere, lorsqu’elle passe par différens milieux : tels que l’air, l’eau, le verre, & sur-tout les lentilles. Voyez Optique.
Ainsi on peut distinguer deux parties dans la Dioptrique ; l’une considere indépendamment de la vision, les propriétés de la lumiere, lorsqu’elle traverse les corps transparens, & la maniere dont les rayons se brisent & s’écartent, ou s’approchent mutuellement ; l’autre examine l’effet de ces rayons sur les yeux, & les phénomenes qui doivent en résulter par rapport à la vision.
M. Descartes a donné un traité de Dioptrique, qui est un de ses meilleurs ouvrages. On trouve dans le recueil des œuvres de M. Huyghens, un traité de Dioptrique assez étendu. Barrow a traité aussi fort au long de cette partie de l’Optique, dans ses lectiones Optica ; aussi bien que M. Newton, dans un ouvrage
