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cf. page de discussion pour le remplacement de 2y par 27 dans les équations

ron que l’intelligence des mots François, & nullement celle de notre syntaxe, c’est-à-dire de ce qui fait que nos mots assemblés & rangés dans un certain ordre font un sens : je dis que si quelqu’un disoit à Cicéron : illustre Romain, après votre mort Auguste vainquit Antoine. Cicéron entendroit chacune de ces paroles en particulier, mais il ne connoîtroit pas quel est celui qui a été le vainqueur, ni celui qui a été vaincu ; il auroit besoin de quelques jours d’usage, pour apprendre parmi nous que c’est l’ordre des mots, leur position, & leur place, qui est le signe principal de leurs rapports.

Or, comme en Latin il faut que le mot ait la terminaison destinée à sa position, & que sans cette condition la place n’influe en rien pour faire entendre le sens, Augustus vicit Antonius, ne veut rien dire en Latin. Ainsi Auguste vainquit Antoine, ne formeroit d’abord aucun sens dans l’esprit de Cicéron ; parce que l’ordre successif ou significatif des vûes de l’esprit n’est indiqué en Latin que par les cas ou terminaisons des mots : ainsi il est indifférent pour le sens de dire Antonium vicit Augustus, ou Augustus vicit Antonium. Cicéron ne concevroit donc point le sens d’une phrase, dont la syntaxe lui seroit entierement inconnue. Ainsi il n’entendroit rien à Auguste vainquit Antoine ; ce seroit-là pour lui trois mots qui n’auroient aucun signe de rapport. Mais reprenons la suite de nos réflexions sur les cas.

Il y a des langues qui ont plus de six cas, & d’autres qui en ont moins. Le P. Galanus, Théatin, qui avoit demeuré plusieurs années chez les Arméniens, dit qu’il y a dix cas dans la langue Arménienne. Les Arabes n’en ont que trois.

Nous avons dit qu’il y a dans une langue & en chaque déclinaison autant de cas, que de terminaisons différentes dans les noms ; cependant le génitif & le datif de la premiere déclinaison des Latins, sont semblables au singulier. Le datif de la seconde est aussi terminé comme l’ablatif : il semble donc qu’il ne devroit y avoir que cinq cas en ces déclinaisons. Mais 1°. il est certain que la prononciation de l’a au nominatif de la premiere déclinaison, étoit différente de celle de l’a à l’ablatif : le premier est bref, l’autre est long.

2°. Le génitif fut d’abord terminé en ai, d’où l’on forma æ pour le datif. In primâ declinatione dictum olim mensai, & hinc deinde formatum in dativo mensæ. Perizonius in Sanctii Minervâ, L. I. c. vj. n. 4.

3°. Enfin l’analogie demande cette uniformité de six cas dans les cinq déclinaisons, & alors ceux qui ont une terminaison semblable, sont des cas par imitation avec les cas des autres terminaisons, ce qui rend uniforme la raison des constructions : casus sunt non vocis, sed significationis, nec non etiam structuræ rationem servamus. Prise. L. V. de Casu.

Les rapports qui ne sont pas indiqués par des cas en Grec, en Latin, & dans les autres langues qui ont des cas, ces rapports, dis-je, sont suppléés par des prépositions, clam patrem. Teren. Hecy. Act. III. sc. iij. v. 36

Ces prépositions qui précedent les noms équivalent à des cas pour le sens, puisqu’elles marquent des vûes particulieres de l’esprit ; mais elles ne font point des cas proprement dits, car l’essence du cas ne consiste que dans la terminaison du nom, destinée à indiquer une telle relation particuliere d’un mot à quelqu’autre mot de la proposition. (F)

Cas irréductible du troisiéme degré, ou simplement Cas irréductible (en Analyse) c’est celui où une équation du troisieme degré a ses trois racines réelles, inégales & incommensurables. Dans ce cas, si on résout l’équation par la méthode ordinaire, la racine quoique réelle, se présente sous une forme qui renferme des quantités imaginaires, &

l’on n’a pû jusqu’à présent réduire cette expression à une forme réelle, en chassant les imaginaires qu’elle contient. Voyez Réel, Imaginaire, &c. Entrons sur ce sujet dans quelque détail.

Soit $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$ une équation du troisieme degré, dans laquelle le second terme est évanoüi. Voyez Evanouissement, Equation & Transformation, &c. Pour la résoudre, je fais $\scriptstyle x=y+z$, & j’ai $\scriptstyle x^{3}=y^{3}+3yyz+3zyy+z^{3}=y^{3}+3yzx+z^{3}$ ;

donc $\scriptstyle x^{3}-3yzx$	$\scriptstyle -y^{3}=0$
	$\scriptstyle -z^{3}=0$

Cette équation étant comparée terme à terme avec $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$, on aura, 1°. $\scriptstyle -3yz=q$, ou $\scriptstyle z=-{\frac {q}{3y}}$ ; 2°. $\scriptstyle y^{3}+z^{3}=-r$, ou $\scriptstyle y^{3}+r=-{\frac {q^{3}}{27y^{2}}}$ ; ou $\scriptstyle y^{6}+ry^{3}=-{\frac {q^{3}}{27}}$.

Cette équation, qu’on peut regarder comme du second degré, (Voyez Abaissement) étant résolue à la maniere ordinaire, (Voyez Equation) donne $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}\pm \textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$. Donc à cause de $\scriptstyle z^{3}=-r-y^{3}$, on aura $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}\mp \textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ ; donc x ou $\scriptstyle y+z=\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$. Telle est la forme de la valeur de x. Cela posé,

1°. Il est évident que si q est positif, r étant positif ou négatif, cette forme est réelle, puisqu’elle ne contient que des quantités réelles. Or dans ce cas, comme on le verra à l’article Equation, deux des racines sont imaginaires. Ainsi la seule racine réelle se trouve exprimée par une formule qui ne contient que des quantités réelles. Ce cas ne tombe donc point dans le cas irréductible, & n’a aucune difficulté.

2°. Si q est négatif, & que $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}={\frac {q^{3}}{27}}$, alors l’équation a deux racines égales, & il n’y a encore aucune difficulté.

3°. Si q est négatif & $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}>{\frac {q^{3}}{27}}$, il y a deux racines imaginaires, & la racine réelle se trouve représentée par une formule toute réelle ; ce qui n’a point de difficulté non plus.

4°. Mais si q est négatif & que $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}<{\frac {q^{3}}{27}}$, alors $\scriptstyle -{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}$ est une quantité négative, & par conséquent $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ est imaginaire. Ainsi l’expression de x renferme alors des imaginaires.

Cependant on démontre en Algebre, que dans ce cas les trois racines sont réelles & inégales. On peut en voir la preuve à la fin de cet article. Comment donc peut-il se faire que la racine x se présente sous une forme qui contienne des imaginaires ?

M. Nicole a le premier résolu cette difficulté (Mém. acad. 1738.) Il a fait voir que l’expression de x, quoiqu’elle contienne des imaginaires, est en effet réelle. Pour le prouver, soit $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}\scriptstyle =b{\sqrt {-1}}$, & $\scriptstyle {\frac {r}{2}}=a$ on aura $\scriptstyle x={\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{a-b{\sqrt {-1}}}}$. Il s’agit de montrer que cette expression, quoiqu’elle renferme des imaginaires, représente une quantité réelle. Pour cela, soit formée suivant les regles données à l’article Binome, une série qui exprime la valeur de $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}$ ou $\scriptstyle {\overline {a+b{\sqrt {-1}}}}^{\frac {1}{3}}$ & celle de $\scriptstyle {\overline {a-b{\sqrt {-1}}}}^{\frac {1}{3}}$, on trouvera après avoir ajoûté ensemble ces deux séries, que tous les termes imaginaires se détruiront, & qu’il ne restera qu’une suîte infinie de termes composés de quantités toutes réelles. Ainsi la valeur de x est en effet réelle. La difficulté est de sommer cette