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La seule inspection des termes en fait voir la loi mieux qu’un long discours.

Il est visible que lorsque m est un nombre entier, cette suite se réduit à un nombre fini de termes ; car soit par exemple $\scriptstyle m=2$ ; donc $\scriptstyle m-2=0$, donc tous les termes qui suivront les trois premiers seront = 0, puisqu’ils seront multipliés chacun par $\scriptstyle m-2$.

M. le Marquis de l’Hopital, dans son Traité des Sections coniques, liv X. a démontré cette formule pour le cas où m est un nombre entier. M. l’Abbé de Molieres l’a démontré aussi dans ses Elémens de Mathématiques. Enfin l’on en trouve encore une démonstration par les combinaisons dans les Elémens d’Algebre de M. Clairaut.

Lorsque m est un nombre négatif ou une fraction, la suite est infinie, & pour lors elle ne représente la valeur de $\scriptstyle (a+b)^{m}$ que dans le cas où elle est convergente, c’est-à-dire, où chaque terme est plus grand que le suivant. Voyez Série ou Suite ; voyez aussi Convergent, Divergent, &c.

Soit, par exemple, un quarré imparfait $\scriptstyle aa+b$, dont il faille extraire la racine quarrée ; il n’y aura qu’à élever $\scriptstyle aa+b$ à la puissance $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ ; car tirer la racine quarrée, ou élever à la puissance $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, c’est la même chose. Voyez Exposant. Ainsi on aura $\scriptstyle (aa+b)^{\frac {1}{2}}=aa^{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times b\times aa^{{\frac {1}{2}}-1}+{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}-1\times {\frac {b^{2}\times aa^{{\frac {1}{2}}-2}}{2}}$, &c. $\scriptstyle =a+{\frac {b}{2a}}-{\frac {bb}{8a^{3}}}$, &c. formule ou suite infinie qui approchera de plus en plus de la racine cherchée.

De même si on veut extraire la racine cube de $\scriptstyle a^{3}+b$, il faudra élever cette quantité à l’exposant $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ ; & on trouvera

$\scriptstyle (a^{3}+b)^{\frac {1}{3}}=a+{\frac {b}{3a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{9a^{3}}}$, &c.

& ainsi des autres. Mais ces séries infinies ne sont bonnes qu’autant qu’elles sont convergentes.

Soit n le rang qu’occupe un terme quelconque dans la suite du binome a + b élevé à la puissance quelconque m, on trouvera que ce terme est au suivant comme 1 est à $\scriptstyle {\frac {b}{a}}\times {\frac {m-n+1}{n}}$ ; d’où il s’ensuit que pour que la série soit convergente, c’est-à-dire que les termes aillent toûjours en diminuant, il faut que $\scriptstyle b\times (m-n+1)$ soit toûjours plus petit que na.

Ainsi pour pouvoir trouver la racine approchée de aa + b par la formule précédente, il faut que $\scriptstyle b\times ({\frac {1}{2}}-n+1)$, pris positivement, soit plus petit que naa, n étant un nombre entier quelconque.

De même pour extraire par cette formule la racine de $\scriptstyle a^{3}+b$, il faut que $\scriptstyle b\times ({\frac {1}{3}}-n+1)$, pris positivement, soit toujours plus petit que $\scriptstyle na^{3}$. (O)

* BINOT, s. m. (Agricult.) c’est ainsi qu’on appelle dans quelques campagnes, une sorte de charrue sans coutre & sans oreilles, avec laquelle on écorche la terre, ou on lui donne quelques demi-labours pour la retourner & la disposer aux labours pleins. Voyez Agriculture.

* BINOTIS, s. m. (Agricult.) demi-labours, ou premiere façon légere que l’on donne aux terres à grains, pour les disposer aux labours pleins. Ces demi-labours se donnent avec le binot, d’où ils ont été appellés binotis. Voyez Labour, Agriculture, & Binot.

* BINSDORFF, (Géog.) petite ville de la basse Stirie, dans la seigneurie de Hohenberg.

* BIRITAMBARU, (Hist. nat. bot.) espece de convolvulus qui croît dans le Malabar, l’île de Ceylan, & d’autres contrées des îles Orientales. La phrase

botanique est toute la description qu’on nous en donne ; voici cette phrase : convolvulus maritimus zeylanicus, folio crasso, cordiformi, pes capræ Lusitanis. On

dit qu’une dragme de résine de sa racine donnée dans un jaune d’œuf, ou dans quelqu’émulsion appropriée, évacue les eaux dans l’hydropisie ; effet que l’extrait de sa racine préparé avec l’esprit-de-vin produit aussi. Malgré cette vertu cathartique de la racine, on assure que les lapins, les dains & les boucs, tant privés que sauvages, mangent les feuilles. Ray. Hist. plant.

BINTAN, (Géog.) île d’Asie dans les Indes orientales, au sud de la presqu’ile de Malaca. Long. 121. 20. lat. 1.

Bintan ou Vintane, contrée de l’ile de Ceylan, sur la riviere de Trinquilimal, remplie de forêts, & habitée par des sauvages.

BINTENGAPORT, (Géog.) petite ville, avec un port dans l’île d’Yla en Écosse.

BIOGRAPHE, s. m. (Littérat.) terme formé du Grec βίος vie, & de γράφω, j’écris. Il est consacré dans la Littérature pour exprimer un auteur qui a écrit la vie particuliere d’un ou de plusieurs personnages célebres : tels sont parmi les anciens, Plutarque & Cornélius Népos, qui ont écrit les vies des hommes illustres, Grecs & Romains ; & parmi les modernes Léti, qui nous a donné les vies d’Elisabeth, de Charles V. de Sixte V. de Cromwel ; M. Flechier, M. Marsollier, M. de Voltaire, M. l’abbé de la Bletterie, &c.

* BIOPHIO, ou BIOBIO, (Géog.) riviere du Chili, dans l’Amérique méridionale, qui se jette dans la mer du Sud.

BIORNEBORG, (Géog.) ville de Suede dans la Finlande, sur la riviere de Kum près de son embouchure, dans le golfe de Bothnie. Long. 40. 5. latit. 62. 6.

BIORNO, (Géog.) ville de la Finlande méridionale avec port, sur le golfe de Finlande.

BIORKO, (Géog.) île dans le golfe de Finlande, vis-à-vis de l’embouchure de la Niera.

BIPARTITION, voyez Bissection.

BIQUADRATIQUE, adj. (Algebre.) on donne ce nom à la puissance qui est immédiatement au-dessus du cube, c’est-à-dire au quarré-quarré, ou à la quatrieme puissance V. Puissance, Racine, Quarré-quarré, &c. (E)

BI-QUINTILE, adj. (Astron.) c’est un aspect de deux planetes quand elles sont à 144 degrés de distance l’une de l’autre. Voyez Aspect.

On appelle cet aspect bi-quintile, parce que les planetes sont alors éloignées l’une de l’autre de deux fois la cinquieme partie de 360 degrés, c’est-à-dire de deux fois 72 degrés, ou 144. (O)

* BIR, (Géog.) ville de la Turquie Asiatique dans le Diarbeck, avec un château sur l’Euphrate. Long. 55. 36. lat. 36. 10.

* BIRCKENFELD, ville & principauté d’Allemagne dans le Hundsruck, appartenante au prince Palatin, duc de Deux-ponts. Longit. 24. 39. latit. 49. 35.

* BIREME, s. f. (Hist. & Mar. anc.) sorte de navire à l’usage des anciens ; appellée bireme, parce qu’elle étoit à deux rangs de rames. Les savans sont fort partagés sur la disposition de ces rangs de rames, & sur le nombre des rames de chaque rang. Voyez là-dessus l’excellent ouvrage de M. Deslandes sur la Marine des anciens ; & dans les antiquités expliquées du savant P. Montfaucon, vol. IV. pag. 242. des figures de biremes ; où il paroît qu’il régnoit quelquefois une balustrade sur les deux côtés du vaisseau, & qu’une partie des rames du même côté étoit plus élevée que l’autre partie ; les unes partant des vuides de la balustrade, les autres d’ouvertures prati-