donner. On ne doit donc entendre par l’action des puissances, & même par le terme de puissance dont on se sert communément en Méchanique, que le produit d’un corps par sa vitesse ou par sa force accélératrice. De cette définition & des lois de l’équilibre & du mouvement des corps, on conclut aisément que deux puissances égales & directement opposées se font équilibre ; que deux puissances qui agissent en même sens, produisent un effet égal à la somme des effets de chacune ; que si trois puissances agissant sur un point commun sont en équilibre entr’elles, & qu’on fasse sur les directions de ces puissances un parallélogramme, la diagonale de ce parallélogramme sera dans la direction prolongée de la troisieme puissance, & que les rapports de ces trois puissances seront ceux de la diagonale aux côtés, &c. & plusieurs autres théorèmes semblables qui ne sont pas toujours démontrés dans la pratique avec toute la précision possible, parce qu’on y donne communément une notion un peu confuse du mot de puissance. Voyez dans les mém. de l’acad. de Petersbourg, tom. I. un écrit de M. Daniel Bernoulli, intitulé examen principiorum Mechanicæ. (O)
Puissance, en terme d’Arithmétique, se dit du produit d’un nombre ou d’une autre quantité multipliée par elle-même un certain nombre de fois. Voyez Nombre & Quantité.
Ainsi le produit du nombre 3 multiplié par lui-même, c’est-à-dire 9, est la seconde puissance de 3 ; le produit de 9 multiplié par 3 ou 27, est la troisieme puissance, & le produit de 27 encore multiplié par 3 ou 81, est la quatrieme puissance, & ainsi à l’infini. Par rapport à ces produits ou à ces puissances, le nombre 3 est appellé la racine ou la premiere puissance. Voyez Racine.
La seconde puissance s’appelle le quarré, dont 3 est la racine quarrée. Voyez Quarré.
La puissance 27 est appellée le cube, dont 3 est la racine cubique. Voyez Cube.
La quatrieme puissance 81 est appellée biquadratique ou quarré quarré, dont 3 est la racine quarrée-quarrée.
Le nombre qui indique combien de fois la racine est multipliée par elle-même, pour former la puissance, ou combien de fois la puissance doit être divisée par sa racine, pour parvenir à cette racine, est appellé l’exposant de la puissance ; ainsi dans la seconde puissance 2 est l’exposant, 3 dans la troisieme. Remarquez que nous disons que ce nombre indique combien de fois la racine doit être multipliée par elle-même, & non pas que ce nombre exprime le nombre de fois que la racine doit être multipliée ; car dans la troisieme puissance, par exemple, la racine n’est multipliée que 2 & non 3 fois par elle-même, dans la seconde puissance, la racine n’est multipliée que 1 fois ; ainsi le nombre de fois que la racine doit être multipliée par elle-même, est égal à l’exposant diminué d’une unité. Voyez Exposant.
Les modernes, après Descartes, se sont contentés de distinguer la plus grande partie des puissances par leurs exposans ; ainsi ils disoient premiere, seconde, troisieme puissance, &c. Ce sont les Arabes qui ont donné les premiers les noms particuliers des différentes puissances, comme quarré, cube, ou quarré-quarré, sur-solide, quarré-cube, second sur-solide, quarré-quarré-quarré, cube-cube, quarré-sur-solide, troisieme sur-solide, &c.
Ces noms qu’a donné Diophante, & qu’ont suivis Viete & Oughtred, sont le côté ou la racine, le quarré, le cube, le quarré de quarré, le quarré-cube, le cube-cube, le quarré-quarré-cube, le quarré-cube-cube, le cube-cube-cube, &c.
Les caracteres avec lesquels on désigne les différentes puissances, suivant la maniere des Arabes &
celle de Descartes, sont exposés dans les notes suivantes :
| 2, | 4, | 8, | 16, | 32, | 64, | 128, | 256, | 512, | 1024. | |
| R, | q, | c, | bq, | s, | qc, | Bs, | tq, | bc, | sq. | Arab. |
| a, | a2, | a3, | a4, | a5, | a6, | a7, | a8, | a9, | a10. | Desc. |
D’où il suit qu’élever une quantité à une puissance donnée, c’est la même chose que de trouver le produit qui vient en multipliant cette quantité, un certain nombre de fois par elle-même. Par exemple, élever 2 à la troisieme puissance, c’est la même chose que de trouver le produit 8, dont les facteurs ou les composans sont 2, 2, 2. Voyez Quarré, Cube, &c.
Les puissances du même degré sont l’une à l’autre dans le rapport de leurs racines multipliées autant de fois que leur exposant contient d’unités : ainsi les quarrés sont en raison doublée, les cubes en raison triplée ; les quarrés-quarrés ou les quatriemes puissances sont en raison quadruplée. Voyez Raison & Rapport.
Les puissances des quantités proportionnelles sont aussi proportionnelles l’une à l’autre. Voyez Proportion.
D’une puissance donnée extraire la racine, c’est la même chose que de trouver un nombre, par exemple, 2, lequel multiplié un certain nombre de fois par lui-même, comme deux fois, produise la puissance donnée, telle que la troisieme puissance ou 8. Voyez Racine.
Pour multiplier ou diviser une puissance quelconque par une autre puissance de même racine, voici la regle : 1°. Pour les multiplier, ajoutez les exposans des facteurs, la somme est l’exposant du produit ; ainsi qu’on le voit dans l’exemple suivant :
| Facteurs. | ||||||
| Produits, | ||||||
2°. Pour les diviser, ôtez l’exposant de la puissance
du diviseur de l’exposant du dividende, le reste est
l’exposant du quotient. Voyez les exemples suivans :
| Divid. | ( | ( | ( | ||||||
| Divis. |
(E)
Commensurable en puissance se dit de deux quantités qui ne sont point commensurables, mais dont les quarrés ou quelque autre puissance le sont ; ainsi la diagonale d’un quarré & son côté sont commensurables en puissance, parce que le quarré de l’une est double du quarré de l’autre, mais la diagonale & le côté sont incommensurables. Voyez Commensurable & Diagonale.
Puissance d’une hyperbole équilatere dans les sections coniques, c’est le quarré de la ligne droite CI ou AI des coniq. fig. 20.
La puissance de l’hyperbole est la moitié du quarré du demi-axe. Voyez Hyperbole. (O)
Puissances des lignes sont leurs quarrés, cubes, &c. ainsi la seconde puissance de la ligne a est représenté par le quarré a2 fait sur cette ligne la troisieme puissance par le cube a3 dont cette ligne est un côté, &c. (E)
Puissance, s. f. (Droit natur. & polit.) ce mot se prend en différens sens ; 1°. il marque la supériorité & les droits qu’un individu a sur d’autres, alors c’est un synonyme de pouvoir ; c’est ainsi qu’on dit la puissance paternelle, la puissance maritale, la puissance souveraine, la puissance législative, &c. Voyez Pouvoir. 2°. Par puissance on entend la somme des forces d’un état ou d’une société politique ; c’est sous ce point de vue que nous allons la considérer.
La puissance d’un état est toujours relative à celle des états avec qui il a des rapports. Une nation est
