deuxième classe numérique, sera l’objet immédiat de notre étude.
La première classe numérique est formée par l’ensemble {ν} de tous les nombres ordinaux finis.
§ 15. — Les nombres de la deuxième classe numérique Z(ℵ0).
La deuxième classe numérique Z(ℵ0) est l’ensemble {α} de tous les types ordinaux des ensembles bien ordonnés de nombre cardinal ℵ0.
A. La deuxième classe numérique a un nombre plus petit que tous les autres ω = lim. ν.
Démonstration. — ω est le type de l’ensemble bien ordonné
| (1) | F0 = (f1, f2, …, fν, …) |
où ν parcourt tous les nombres ordinaux finis, et
| (2) | fν ≺ fν + 1. |
On a ainsi (§ 7)
| (3) | ω = F0 |
et (§ 6)
| (4) | ω = ℵ0. |
ω est donc un nombre de la deuxième classe et c’est précisément le plus petit. Car si γ est un nombre ordinal quelconque < ω, il doit être le type d’un segment de F0 (§ 14). Mais les segments de F0
ont un nombre ordinal fini ν. Donc γ = ν.
Il n’y a donc aucun nombre ordinal transfini qui soit plus petit que ω ; ω est ainsi le plus petit nombre ordinal transfini.
