Nous pouvons rassembler tout ce qui précède dans l’énoncé suivant :
I. À chaque série fondamentale {αν} de nombres ordinaux correspond un nombre ordinal lim. αν, qui est immédiatement supérieur à tous les αν ; il est représenté par la formule (22).
Si γ désigne un nombre ordinal fixe, on démontre facilement, avec l’aide des formules (12), (13) et (17), les théorèmes contenus dans les formules suivantes :
| (23) | lim. (γ + αν) = γ + lim. αν ; |
| (24) | lim. γαν = γ . lim. αν. |
Nous avons déjà mentionné au § 7 que tous les ensembles simplement ordonnés de nombre cardinal fini ν ont le même type d’ordre ν. La démonstration est la suivante. Tout ensemble simplement ordonné de nombre cardinal fini est un ensemble bien ordonné ; car il doit, ainsi que toutes ses parties, avoir un élément initial, ce qui (th. B, § 12) caractérise un ensemble bien ordonné.
Les types des ensembles simplement ordonnés finis ne sont donc pas autre chose que les nombres ordinaux finis. Un même nombre cardinal ν ne peut correspondre à deux nombres ordinaux différents α et β. Si, en effet, α est < β et G = β, il existe, comme nous le savons, un segment B de G tel que B = α.
L’ensemble G et sa partie B auraient donc le même nombre cardinal, ce qui est impossible (th. C, § 6).
Les nombres ordinaux finis coïncident donc dans leurs propriétés avec les nombres cardinaux finis. Il en est tout autrement pour les nombres ordinaux transfinis ; à un même nombre cardinal a correspond un nombre infini de nombres ordinaux formant un système que nous nommons la classe numérique Z(a). C’est une partie de la classe de types [a] (§ 7).
La classe numérique Z(ℵ0), que nous nommerons la
