bien ordonné H (th. E, § 12) dont le type est complètement déterminé par les types α et β et est appelé le produit α.β.
| (5) | Fg = α ; |
| (6) | α.β = H. |
F. Le produit de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.
Dans le produit α.β, α s’appelle le multiplicande, β le multiplicateur.
En général, α.β et β.α ne sont pas égaux. Mais on a (§ 8) :
| (7) | (α.β).γ = α.(β.γ), |
c’est-à-dire :
G. La loi associative gouverne la multiplication des nombres ordinaux.
La loi distributive n’est applicable, en général, que sous la forme suivante :
| (8) | α.(β + γ) = αβ + αγ. |
Quant à la-grandeur du produit, on voit facilement que :
H. Si le multiplicateur est plus grand que 1, le produit de deux nombres ordinaux est toujours supérieur au multiplicande et supérieur ou égal au multiplicateur. L’égalité αβ = αγ entraîne toujours β = γ.
D’ailleurs, on a évidemment :
| (9) | α.1 = 1.α = α. |
Parlons maintenant de l’opération de la soustraction. Si α et β sont deux nombres ordinaux tels que α < β, il existe toujours un nombre ordinal déterminé, que nous nommons β − α et qui vérifie l’équation
| (10) | α + (β − α) = β. |
