définis au § 8, sont évidemment applicables aux nombres ordinaux.
Si α = F et β = G, où F et 6 sont deux ensembles bien ordonnés, on a :
| (1) | α + β = (F, G) |
L’ensemble-somme (F, G) est évidemment un ensemble bien ordonné ; nous avons ainsi le théorème :
C. La somme de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.
Dans la somme α + β, α s’appelle l’augendus et β l’addendus.
Puisque F est un segment de (F, G), on a toujours :
| (2) | α < α + β. |
Par contre, G n’est pas un segment, mais un reste de (F, G) ; il peut donc, comme nous l’avons vu au § 13, être semblable à l’ensemble (F, G) ; si cela n’est pas, G est semblable à un segment de (F, G), d’après le théorème O, § 13. Donc
| (3) | β ≤ α + β. |
Nous avons ainsi :
D. La somme de deux nombres ordinaux est toujours supérieure à l’augendus et supérieure ou égale à l’addendus. L’égalité α + β = α + γ entraîne toujours β = γ.
En général, α + β et β + α ne sont pas égaux. Au contraire, si γ est un troisième nombre ordinal, on a :
| (4) | (α + β) + γ = α + (β + γ), |
c’est-à-dire :
E. La loi associative gouverne l’addition des nombres ordinaux.
Si dans l’ensemble G de type β, on remplace chaque élément g par un ensemble Fg de type α, on obtient un ensemble
