Mais F′ a, d’après le théorème A, un élément initial ; il en est de même pour G′. Ainsi G et toutes ses parties G′ ont un élément initial ; d’après le théorème B, c’est donc un ensemble bien ordonné.
E. Si dans un ensemble bien ordonné G on substitue, à la place de tous ses éléments g, des ensembles bien ordonnés Fg de sorte que si g ≺ g′, on ait aussi Fg ≺ Fg′, l’ensemble H obtenu de cette manière par la réunion de tous les ensembles Fg est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — H, ainsi que toute partie H1 de H, a un élément initial, ce qui, d’après le théorème B, caractérise H comme ensemble bien ordonné. En effet, si g1 est l’élément initial de G, l’élément initial de Fg1 sera aussi l’élément initial de H.
De plus, les éléments d’une partie H1 de H appartiennent à des ensembles Fg déterminés qui, pris ensemble, forment une partie de l’ensemble bien ordonné {Fg}, composé de tous les éléments Fg, et semblable à l’ensemble G ; si Fg0 est l’élément initial de cette partie, l’élément initial de la partie H1 contenue dans Fg0 est aussi élément initial de H1.
§ 13. — Les segments des ensembles bien ordonnés.
Soit f un élément différent de l’élément initial f1 de l’ensemble bien ordonné F ; l’ensemble A de tous les éléments de F qui sont ≺ f sera nommé un segment de F (Abschnitt von F) et, d’une façon plus précise, le segment de F déterminé par l’élément f. Au contraire, l’ensemble R de tous les autres éléments de F, y compris f, sera appelé le reste de F, ou mieux le reste de F déterminé par l’élément f. Le théorème C, § 12, prouve que les ensembles A et R sont bien ordonnés, et nous pouvons écrire, en vertu des § 8 et 12,
| (1) | F = (A, R) |
| (2) | R = (f, R′) |
| (3) | A ≺ R. |
