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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.
étant symétrique gauche et
symétrique en
et
ils
sont tous deux symétriques gauches en
et ![{\displaystyle \sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef6a3306fe3a77760c2d5ef15ebddd4b64b6489)
La variation d’un vecteur se trouve ainsi mise sous la forme précédemment
donnée (3-18), et si
est la longueur généralisée du
vecteur, on a, par déplacement parallèle le long d’un contour
infiniment petit limitant l’élément de surface
l’équation (4-18)
![{\displaystyle 2\,l\,dl=\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebca667ad15b413c126d62e95c9fde05b672dc0)
On peut vérifier que
(34-18)
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|
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On doit remarquer que ni
ni
ni
ne sont des
tenseurs absolus, car les
doivent intervenir pour abaisser
l’indice
Le scalaire
n’est pas non plus un invariant absolu.
Tenseurs absolus et co-tenseurs. — On voit, par ce qui précède, qu’il faut distinguer les tenseurs absolus indépendants de tout système de jauges et les tenseurs qui varient avec les jauges (pour un même système de coordonnées, c’est-à-dire pour une même division de l’Espace-Temps en cellules quadridimensionnelles).
Supposons qu’on ait adopté un système de coordonnées (rappelons
que les
sont des nombres purs) et un système de jauges ;
nous avons, comme dans la théorie d’Einstein (d’après la définition
15-18).
![{\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576bc820faa753d340a6add2d0cf8ef7669f9205)
Conservant la même division en cellules (le même système de coordonnées), changeons maintenant le système de jauges, et à cet effet divisons l’unité d’intervalle en chaque point d’Univers par une fonction de point (arbitraire)
le nombre exprimant
est multiplié par
En accentuant les quantités mesurées avec les nouvelles jauges, nous avons
![{\displaystyle ds'^{2}=g'_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }=n\,ds^{2}=n\,g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f90a27dc2f3d28d7c8f84944fa0c572f4550a8)
D’où
![{\displaystyle g'_{\mu \nu }=n\,g_{\mu \nu },\qquad g'^{\mu \nu }=n^{-1}g_{\mu \nu },\qquad g'=n^{4}g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1641351dfc056c4df03f1078bd7f9468f0d8da)
Le tenseur des
est donc multiplié par
nous dirons qu’il
BECQUEREL.
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