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deuxième partie. — la relativité généralisée.
lisée du vecteur n’a donc pas changé (no 67) ; sa direction seule a varié. Ainsi la restriction admise a priori dans la géométrie d’Einstein est que, par déplacement parallèle (c’est-à-dire tel que
le long du parcours), la longueur généralisée d’un vecteur
se conserve toujours, alors la direction de ce vecteur change lorsque l’Espace-Temps n’est pas euclidien ![{\displaystyle (\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\neq 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382cc4f54017c23c5abd4aaae85daa6d14ac3a41)
Supprimons cette restriction : il faut remplacer
par un tenseur d’un type plus général
Ce tenseur peut être décomposé en une somme de deux tenseurs
et
le premier symétrique gauche, le second symétrique en
et
il suffit en effet de poser
(2-18)
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(symétrique gauche en et )
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(symétrique en et )
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On peut donc écrire au lieu de (1-18)
(3-18)
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La variation devant être annulée quand le circuit est décrit une seconde fois, mais en sens inverse du premier parcours, le tenseur
et par suite les tenseurs
et
doivent être symétriques gauches en
et
Soit
la longueur généralisée de
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}(l+dl)^{2}&=(\mathrm {A} _{\mu }+d\mathrm {A} _{\mu })(\mathrm {A} ^{\mu }+d\mathrm {A} ^{\mu })\\&=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }+\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }+\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }\\&=l^{2}+2\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745d9df29c99f85551e740ca67faed812f2399a4)
ou, d’après (3-18),
(4-18)
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car
étant symétrique gauche en
et ![{\displaystyle \rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bed314e4bed19299ed16afd79f67ea5c4593c)
![{\displaystyle \mathrm {B} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d262ee0851eb19b4e4eda8d41db257c2d1165b)
Ici, Weyl a adopté une limitation. Il a supposé :
1o Que
est décomposable en un produit
2o Que
est le rotationnel d’un vecteur.