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deuxième partie. — la relativité généralisée.
tenseur absolu, car nous n’avons eu à faire intervenir aucun système de jauges.
Ce tenseur est la généralisation du tenseur de Riemann-Christoffel, les symboles de Christoffel étant remplacés par les
Contractons
nous obtenons la généralisation du tenseur
(14-18)
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Ces deux tenseurs absolus
et
traduisent les propriétés intrinsèques du continuum. On n’en voit pas d’autres qui jouissent des mêmes propriétés.
Pour introduire les
il nous faut adopter un système de jauges quelconque, mais défini. Nous définissons la longueur
d’un déplacement
par
(15-18)
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est un invariant à l’égard du système de coordonnées ;
est un tenseur symétrique.
Un système de coordonnées étant adopté, les
sont des nombres purs, mais
dépend, par les
du système de jauges. La longueur n’est donc pas un invariant absolu ; c’est une convention purement géométrique et non une notion physique.
Imprimons à
un déplacement parallèle le long de
nous avons
(16-18)
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[d’après (10-18)]
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ou, en écrivant
![{\displaystyle \Gamma _{\sigma \mu ,\nu }=g_{\alpha \nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224d98e698b04c75149f01412d646d8e76e03633)
(17-18)
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Puisque
est un invariant (à l’égard du système de coordonnées), la quantité entre parenthèses est un tenseur ; désignons celui-ci par
(symétrique en
et
)
![{\displaystyle 2\varphi _{\mu \nu ,\sigma }={\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}-\Gamma _{\sigma \mu ,\nu }-\Gamma _{\sigma \nu ,\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dabbd9c962ad2c0e7da3223cefce598d5c41af1)