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deuxième partie. — la relativité généralisée.
Remplaçant
par sa valeur tirée de la formule auxiliaire (34),
nous avons
(35-13)
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Or
et d’autre part nous pouvons remplacer dans le
dernier terme les indices muets
par
En posant alors
(36-13)
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l’équation (35) s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {A} '_{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\sigma \tau },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4fcfdd1f942688467940e986ad90511a87050e)
ce qui prouve que
défini par (36), est un tenseur covariant.
Nous avons donc atteint le but que nous nous étions proposé. Ce
tenseur se nomme dérivée covariante de
.
Introduisons maintenant le quadrivecteur contrevariant
associé
à
Nous avons
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\sigma }=g_{\sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db5c5274262d98c537849f0b182c1a7569c5bd8)
D’après (36), nous pouvons écrire
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[d’après (28-13)]
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[d’après (29-13)]
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Multiplions enfin les deux membres par
pour faire
indice en haut ; nous trouvons
(37-13)
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Le tenseur mixte
est la dérivée covariante du quadrivecteur contrevariant
(elle est appelée covariante parce que la différentiation introduit un indice covariant
).
Dérivée covariante d’un tenseur. — On peut généraliser les