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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Nous voyons encore que

(29-13)

${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\lambda \nu \\\mu \end{bmatrix}}={\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\nu }}}\cdot$

Les expressions qui définissent les symboles sont symétriques en $\mu$ et $\nu .$ Il existe quarante symboles différents de chaque genre.

Nous verrons plus loin que, de même que les $g_{\mu \nu }$ sont les composantes du potentiel généralisé, les ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}$ sont les composantes de la force généralisée, mais alors que les composantes du potentiel forment le tenseur $g_{\mu \nu },$ les ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}$ ne constituent pas un tenseur.

Dérivée covariante d’un quadrivecteur. — Partons d’abord d’un tenseur d’ordre nul ou scalaire. Sa dérivée est un quadrivecteur covariant.

On a, en effet, $\varphi$ étant une fonction de point invariante dans toute transformation de coordonnées :

${\frac {\partial \varphi }{\partial x'_{\mu }}}={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}},$

ce qui prouve (4-13) que ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}}$ est un vecteur covariant.

Mais on ne peut pas continuer dans cette voie ; la dérivée d’un quadrivecteur n’est pas un tenseur.

Nous pouvons cependant trouver une expression tensorielle qui remplacera la dérivée ordinaire^[1].

Il nous faut d’abord établir une formule auxiliaire.

Partons du tenseur covariant $g_{\mu \nu }$ ; nous avons, par une transformation de coordonnées :

$g'_{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}g_{\alpha \beta }\,;$

d’où, par dérivation,

(30-13)

${\begin{aligned}{\frac {\partial g'_{\mu \nu }}{\partial x'_{\lambda }}}=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}\right.&+\left.{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\nu }\,\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\mu }}}\right)\\&+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\gamma }}}\cdot \end{aligned}}$

Dans le second terme de la parenthèse nous avons permuté les

1. Eddington, Report on the theory of gravitation, p. 36. Espace, Temps et Gravitation, partie théorique, n^o 22.