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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
thétiser les quatre composantes d’un quadrivecteur contrevariant,
sauf cependant pour
qui, bien que contrevariant, est écrit
avec indice en bas.
Il est évident que si
et
sont les composantes de quadrivecteurs
contrevariants, il en est de même de
(même
indice
pour
et pour
dans chaque composante).
Quadrivecteurs covariants. — Quatre grandeurs
(indice
en bas) sont appelées composantes d’un quadrivecteur ou tenseur
de premier ordre covariant si,
étant un quadrivecteur
contrevariant arbitraire, on a
(3-13)
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La loi de transformation des quadrivecteurs covariants résulte
immédiatement de cette définition. Dans le second membre de
l’équation
![{\displaystyle \sum _{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }=\sum _{\nu }\mathrm {A} _{\nu }\mathrm {B} ^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a9508cc80db2699da02bade1eeeeb38a8c370f)
remplaçons
par l’expression obtenue en inversant l’équation
(2-13), c’est-à-dire
![{\displaystyle \mathrm {B} ^{\nu }=\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {B} '^{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a55d6070abf1fa41411658146e85d3bd17cb65)
nous obtenons
![{\displaystyle \sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452a70b3d34e9c6c56d9f4604ba46f6ac14ee5b0)
ou, puisque le quadrivecteur
est arbitraire,
(4-13)
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Notation simplifiée. — On voit sur les équations qui précèdent
que la sommation doit être faite en donnant successivement les
valeurs 1, 2, 3, 4 à celui des indices qui figure deux fois sous le
signe
et que la sommation ne doit être faite que par rapport à
cet indice qui se nomme indice muet.
L’indice muet n’a pas de signification propre, puisque dans la